Задача 64533 ...
Условие
Решение
Найдём производную этой функции:
[m]у'=\frac{4}{π} \frac{1}{1+(\frac{1}{2}sin(x–\frac{π}{4})–\frac{1}{2})^2}*\frac{1}{2}cos(x–\frac{π}{4})=\frac{2}{π} \frac{cos(x–\frac{π}{4})}{1+(\frac{1}{2}sin(x–\frac{π}{4})–\frac{1}{2})^2}[/m]
Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции, нужно производную приравнять к 0.
Если дробь равна 0, числитель равен 0, а знаменатель нет.
Знаменатель, равный 1 + квадрат будет > 0 при любом x.
Осталось приравнять к 0 числитель дроби:
cos (x - π/4) = 0
x - π/4 = π/2 + π*n, n ∈ Z
x = π/2 + π/4 + π*n = 3π/4 + π*n, n ∈ Z
Найдем значения функции в x1=3π/4 и x2=3π/4+π=7π/4:
[m]у(\frac{3π}{4})=\frac{4}{π} arctg(\frac{1}{2}sin(\frac{3π}{4}–\frac{π}{4})–\frac{1}{2})=\frac{4}{π} arctg(\frac{1}{2}sin(\frac{π}{2})–\frac{1}{2})=\frac{4}{π} arctg(0)=0[/m]
[m]у(\frac{7π}{4})=\frac{4}{π} arctg(\frac{1}{2}sin(\frac{3π}{2})–\frac{1}{2})=\frac{4}{π} arctg(\frac{1}{2}*(-1)–\frac{1}{2})=\frac{4}{π}*(-\frac{π}{4})=-1[/m]
Итак, наименьшее значение функции равно -1, а наибольшее значение равно 0.
Их сумма равна -1.
Ответ: -1