Задача 64510 Найти общее решение дифференциального...

61bf0c73293da3503183e336

11.05.2022 21:49:30

Найти общее решение дифференциального уравнения

626fab9a354ab65fb2f43abb

11.05.2022 22:12:02

★

x^2*y' + xy + 1 = 0
y' + xy/x^2 + 1/x^2 = 0
y' + y/x = -1/x^2
Неоднородное уравнение 1 порядка. Решается заменой:
y = u*v; y' = u'*v + u*v'
u'*v + u*v' + u*v/x = -1/x^2
Выносим u за скобки:
u'*v + u(v' + v/x) = -1/x^2
Скобку приравниваем к 0:
v' + v/x = 0
dv/dx = -v/x
dv/v = -dx/x
ln v = -ln x = ln(1/x)
v = 1/x
Подставляем в уравнение:
u'*1/x + u*0 = -1/x^2
Умножаем всё на x:
u' = -1/x
u = -ln x + С
u = С - ln x
Возвращаемся к функции y:
y = u*v = (С - ln x)*1/x = (С - ln x)/x

Ответ: y = (С - ln x)/x