Задача 64501 Решить дифференциальные уравнения:...
Условие
Решение
y' = x^2/(2xy) + y^2/(2xy) = x/(2y) + y/(2x)
y' = 1/2*(x/y + y/x)
Это однородное уравнение 1 порядка. Решается заменой:
t = y/x; y = tx; y' = t'*x + t
t'*x + t = 1/2*(t + 1/t)
dt/dx*x = 1/2*(1/t - t) = 1/2*(1 - t^2)/t = (1 - t^2)/(2t)
2t/(1 - t^2) dt = dx/x
Получили уравнение с разделенными переменными:
Делаем замену: z = t^2; dz = 2t dt
dz/(1 - z) = dx/x
-ln(1 - z) = ln x + ln C
ln(1/(1-z)) = ln(Cx)
Избавляемся от логарифмов и делаем обратную замену z = t^2:
1/(1 - t^2) = Cx
1 - t^2 = 1/(Cx)
Снова делаем обратную замену t = y/x:
1 - y^2/x^2 = 1/(Cx)
y^2/x^2 = 1 - 1/(Cx) = (Cx - 1)/(Cx)
y^2 = x^2*(Cx - 1)/(Cx)
y = x*sqrt((Cx - 1)/(Cx))
2) y' - 3y/x = x
Это неоднородное уравнение 1 порядка. Решается заменой:
y = u*v; y' = u'*v + u*v'
u'*v + u*v' - 3u*v/x = x
Выносим за скобки u:
u'*v + u*(v' - 3v/x) = x
Скобку приравниваем к 0:
v' - 3v/x = 0
Получаем уравнение с разделяющимися переменными:
dv/dx = 3v/x
dv/v = 3dx/x
ln v = 3ln x = ln (x^3)
v = x^3
Подставляем в уравнение:
u'*x^3 + u*0 = x
u' = 1/x^2
u = -1/x + С
Возвращаемся к переменной y:
y = u*v = (-1/x + С)*x^3 = Cx^3 - x^2