Задача 64490 Решите уравнение, с объяснением всех...
Условие
Решение
Воспользуемся формулой синуса двойного угла:
sin 2a = 2*sin a*cos a
sin a*cos a = 1/2*sin 2a
В нашем случае:
1/2*sin 2x*cos 2x*cos 8x = 1/4*sin 12x
1/2*1/2*sin 4x*cos 8x = 1/4*sin 12x
Умножаем всё на 4:
sin 4x*cos 8x = sin 12x
Есть еще формула произведения синуса и косинуса:
sin a*cos b = 1/2*(sin(a-b) + sin(a+b))
В нашем случае:
1/2*(sin(4x-8x) + sin(4x+8x)) = sin 12x
sin(-4x) + sin 12x = 2sin 12x
-sin 4x = sin 12x
sin 12x + sin 4x = 0
И, наконец, есть формула суммы синусов:
[m]sin(a) + sin(b) = 2sin(\frac{a+b}{2})cos(\frac{a-b}{2})[/m]
В нашем случае:
[m]sin(12x) + sin(4x) = 2sin(\frac{12x+4x}{2})cos(\frac{12x-4x}{2}) = 2sin(\frac{16x}{2})cos(\frac{8x}{2})[/m]
2sin 8x*cos 4x = 0
1) sin 8x = 0
8x = π*k
[b]x1 = π/8*k, k ∈ Z[/b]
2) cos 4x = 0
4x = π/2 + π*k
[b]x2 = π/8 + π/4*k, k ∈ Z[/b]