Задача 64487 ...

627243c94bf6d2485fa733c5

10.05.2022 11:32:36

1)Решить уравнение. cos(2π/3) × x=(x–3)2+1
2) сколько корней имеет уравнение cos5x=x2+1?
3) найдите нули функции у=√у–6х+х2–|х|
4) найдите все значения x, удовлетворяющее неравенству 7х2 ≤ 1–х2

626fab9a354ab65fb2f43abb

10.05.2022 12:55:24

★

1) cos(2π/3) × x = (x–3)^2 + 1
cos(2π/3) = -0,5, подставляем и раскрываем скобку:
-0,5*x = x^2 - 6x + 9 + 1
x^2 - 5,5x + 10 = 0
2x^2 - 11x + 20 = 0
D = 11^2 - 4*2*20 = 121 - 160 < 0
Действительных корней нет.
2) cos 5x = x^2 + 1
Косинус принимает значения [-1; 1] при любом x.
x^2 + 1 >1 при любом x ≠ 0. И x^2 + 1 = 1 при x = 0.
Поэтому это уравнение имеет только 1 корень:
x = 0
cos 0 = 1; 0^2 + 1 = 1
Всё верно.
3) у = √у – 6х + х^2 – |х|
Нули функции - это точки, в которых y = 0
0 = 0 - 6x + х^2 – |х|
Если x < 0, то |x| = -x
x^2 - 6x - (-x) = 0
x^2 - 5x = 0
x(x - 5) = 0
x1 = 0; x2 = 5 - оба корня не подходят, потому что x < 0.
Если x ≥ 0, то |x| = x
x^2 - 6x - x = 0
x^2 - 7x = 0
x(x - 7) = 0
x1 = 0; x2 = 7 - оба корня подходят, потому что x ≥ 0
Нули функции: точки M1(0; 0); M2(7; 0)
4) 7x^2 ≤ 1 - x^2
8x^2 ≤ 1
x^2 ≤ 1/8
x ∈ [-1/sqrt(8); 1/sqrt(8)]