Задача 64473 Найти общее решение дифференциального...

61bf4c49aa82816171682d69

08.05.2022 13:49:58

Найти общее решение дифференциального уравнения.

626fab9a354ab65fb2f43abb

08.05.2022 19:05:21

★

y' - y/x + sin(y/x) = 0
Однородное уравнение 1 порядка.
Решается заменой: y/x = t; y = tx; y' = t'*x + t
t'*x + t - t + sin t = 0
t'*x = -sin t
Уравнение с разделяющимися переменными
dt/dx*x = -sin t
dt/sin t = -dx / x
ln (tg (t/2)) = -ln x + ln C = ln (C/x)
Избавляемся от логарифмов:
tg (t/2) = C/x
t = 2*arctg(C/x)
y = tx = 2x*arctg(C/x)

Ответ: y = 2x*arctg(C/x)