Задача 64470 Найти общее решение дифференциального...

61bf0c73293da3503183e336

08.05.2022 13:36:03

Найти общее решение дифференциального уравнения

626fab9a354ab65fb2f43abb

08.05.2022 15:39:20

★

xy' + x*tg(y/x) = y
y' + tg(y/x) = y/x
Однородное уравнение 1 порядка.
Решается заменой: y = tx; y' = t'*x + t
t'*x + t + tg t = t
t'*x + tg t = 0
dt/dx = -tg t/x
dt/tg t = -1/x dx
ctg t dt = -1/x dx
Уравнение с разделенными переменными
ln (sin t) = -ln x = ln(1/x) + ln C
ln (sin t) = ln(C/x)
sin t = C/x
t = arcsin (C/x)
Обратная замена:
t = y/x = arcsin (C/x)
y = x*arcsin (C/x)

Ответ: y = x*arcsin (C/x)