Задача 64469 Найти решение задачи Коши....
Условие
Решение
Это неоднородное уравнение 1 порядка.
Решается заменой: y = u*v; y' = u'*v + u*v'
u'*v + u*v' + u*v*tg x = cos^2 x
Выносим u за скобки:
u'*v + u(v' + v*tg x) = cos^2 x
Скобку приравниваем к 0, получаем уравнение с разделяющимися переменными:
v' + v*tg x = 0
dv/dx = -v*tg x
dv/v = -tg x*dx
ln v = -ln |cos x| = ln |1/cos x|
v = 1/cos x
Подставляем в наше уравнение:
u'*1/cos x + u*0 = cos^2 x
u' = cos^3 x
du = cos^3 x dx
u = -1/3*sin^3 x + sin x + C
Делаем обратную замену:
y = u*v = (-1/3*sin^3 x + sin x + C)*1/cos x
Теперь решаем задачу Коши:
y(π/4) = 1/2
1/2 = [-1/3*sin^3 (π/4) + sin (π/4) + C]*1/cos (π/4)
1/2 = [-1/3*1/sqrt(2)^3 + 1/sqrt(2) + C]*1/(1/sqrt(2))
1/2 = [-1/(6sqrt(2)) + 1/sqrt(2) + C]*sqrt(2) = -1/6 + 1 + C*sqrt(2)
C*sqrt(2) = 1/2 + 1/6 - 1 = 3/6 + 1/6 - 6/6 = -2/6 = -1/3
C = -1/(3*sqrt(2)) = -sqrt(2)/6
Частное решение:
y = (-1/3*sin^3 x + sin x - sqrt(2)/6)/cos x
Ответ: y = (-1/3*sin^3 x + sin x - sqrt(2)/6)/cos x