Задача 64466 Дана кривая 4 x2 + 9 y2 32 x 18y + 37...

62766e84c58df4198fcc0eb4

08.05.2022 08:50:42

Дана кривая 4 x2 + 9 y2 − 32 x − 18y + 37 = 0. Докажите, что эта кривая — эллипс. Найдите координаты центра его симметрии. Найдите его большую и малую полуоси. Запишите уравнение фокальной оси. Постройте данную кривую.

626fab9a354ab65fb2f43abb

08.05.2022 12:32:31

★

4x^2 + 9y^2 − 32x − 18y + 37 = 0
Выделяем полные квадраты:
(4x^2 - 32x + 64 - 64) + (9y^2 - 18y + 9 - 9) + 37 = 0
Выносим за скобки 4 и 9:
4(x^2 - 8x + 16) - 64 + 9(y^2 - 2y + 1) - 9 + 37 = 0
Сворачиваем их в квадраты:
4(x - 4)^2 + 9(y - 1)^2 = 64 + 9 - 37 = 36
Делим всё на 36:
(x - 4)^2/9 + (y - 1)^2/4 = 1
Это каноническое уравнение эллипса.
Координаты центра его симметрии: M(4, 1).
Полуоси: a = sqrt(9) = 3 - большая, b = sqrt(4) = 2 - малая.
Уравнение фокальной оси, параллельной оси Ox: y = 1
Параметр c = sqrt(a^2 - b^2) = sqrt(9 - 4) = sqrt(5)
Координаты фокусов:
F1(4 - sqrt(5); 1) ≈ (1,764; 1)
F2(4 + sqrt(5); 1) ≈ (6,236; 1)