Задача 64459 Найти производную функции u=ln(ex + e^y)...
Условие
Решение
Здесь опечатка - должно быть e^x.
Производная по направлению - это по сути сумма частных производных, умноженных на направляющие косинусы вектора.
∂z/∂l = dz/dx*cos α + dz/dy*cos β
У нас направляющий вектор - это луч, "параллельный биссектрисе координатного угла", как сказано в условии.
Биссектриса координатного угла задается уравнением y = x.
Его направляющие косинусы:
[m]cos α = \frac{1}{\sqrt(1^2+1^2)} = \frac{1}{\sqrt(2)}[/m]
[m]cos β = \frac{1}{\sqrt(1^2+1^2)} = \frac{1}{\sqrt(2)}[/m]
Частные производные:
[m]\frac{du}{dx} = \frac{1}{e^x+e^y}*e^x = \frac{e^x}{e^x+e^y}[/m]
[m]\frac{du}{dy} = \frac{1}{e^x+e^y}*e^y = \frac{e^y}{e^x+e^y}[/m]
Производная по направлению:
[m]\frac{∂z}{∂l} = \frac{e^x}{e^x+e^y}*\frac{1}{\sqrt(2)}+ \frac{e^y}{e^x+e^y}*\frac{1}{\sqrt(2)}[/m]
[m]\frac{∂z}{∂l} = \frac{1}{\sqrt(2)(e^x+e^y)}*(e^x + e^y)=\frac{1}{\sqrt(2)}[/m]
Ответ: [m]\frac{∂z}{∂l} = \frac{1}{\sqrt(2)}[/m]