Задача 64424 Исследовать на экстремум функцию z = f...
Условие
z=x^2+2xy-y^2-2x+2y
Решение
Чтобы найти экстремумы функции нескольких переменных, нужно выполнить два условия:
1) Приравнять к 0 все частные производные 1 порядка.
{ dz/dx = 2x + 2y - 2 = 0
{ dz/dy = 2x - 2y + 2 = 0
Решаем эту систему. Делим оба уравнения на 2:
{ x + y - 1 = 0
{ x - y + 1 = 0
Складываем уравнения:
x + y - 1 + x - y + 1 = 0
2x = 0
x = 0
Подставляем в любое уравнение:
0 + y - 1 = 0
y = 1
Нашли критическую (чаще говорят - стационарную) точку M(0; 1).
2) Проверяем, какого вида этот экстремум.
Для этого найдем производные 2 порядка:
A = d^2z/(dx^2) = d(2x + 2y - 2)/dx = 2 > 0
B = d^2z/(dxdy) = d(2x + 2y - 2)/dy = 2
C = d^2z/(dy^2) = d(2x - 2y + 2)/dy = -2
Теперь находим выражение A*C - B^2:
Если A*C - B^2 > 0 и A > 0 - это минимум.
Если A*C - B^2 > 0 и A < 0 - это максимум.
Если A*C - B^2 < 0 - экстремума вообще нет.
Если A*C - B^2 = 0 - ничего нельзя сказать, нужны дополнительные исследования.
В нашем случае:
A*C - B^2 = 2*(-2) - 2^2 = -4 - 4 = -8 < 0
Значит, в стационарной точке M(0; 1) экстремума нет.
Это так называемая "седловая точка".
Ответ: Экстремумов нет