Задача 64410 Указать структуру общего решения...

62724c9b4bf6d2485fa73481

05.05.2022 07:53:18

Указать структуру общего решения дифференциального уравнения, не
находя коэффициентов его частных решений.
y'''–y'=ex(x–x^2+x^3)+5–sin2x–3xcosx

5f3ea7e3faf909182968ddd9

05.05.2022 10:24:35

★

Это неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами

Решаем однородное уравнение
y``` -y` =0

Составляем характеристическое уравнение:
k^3-k=0

k*(k^2-1)=0

k=0; k= ±1 - корни характеристического уравнения действительные различные.

В этом случае общее решение имеет вид:

y=C_(1)*e^(k_(1)x)+C_(2)*e^(k_(2)x)+C_(3)*e^(k_(3)x)

В данном случае:

y=C_(1)*e^(0x)+C_(2)*e^(-1*x)+C_(3)*e^(1*x)

y=C_(1)+C_(2)*e^(-x)+C_(3)*e^(x) - общее решение однородного уравнения


Частное решение зависит от правой части.


Правая часть данного уравнения является суммой нескольких функций, так называемого "специального" вида


f_(1)(x)=e^(x)*(x–x^2+x^3)

f_(2)(x)=5

f_(3)=–sin2x

f_(4)=–3xcosx


⇒

частные решения, соответствующие каждой из функций "специального" вида

y_(1)=e^(x)*x*(ax^3+bx^2+cx+d)

y_(2)=k*x

y_(3)=m*sin2x+n*cos2x

y_(4)=(px+q)cosx+(rx+t)sinx


частное решение данного уравнения: cумма этих частных решений