Задача 64389 Исследуйте функцию y=х/х2+4 на...
Условие
Решение
Точки экстремума - это точки, в которых производная равна 0.
[m]y'=\frac{x'(x^2 + 4) - x*(x^2 + 4)'}{(x^2 + 4)^2} = \frac{x^2 + 4 - x*2x}{(x^2 + 4)^2}=\frac{4 - x^2}{(x^2 + 4)^2}=0[/m]
Дробь равна 0, если ее числитель равен 0, а знаменатель нет.
4 - x^2 = 0
(2 - x)(2 + x) = 0
x1 = -2; y(-2) = -2/(4 + 4) = -2/8 = -1/4 - точка минимума.
x2 = 2; y(2) = 2/(4 + 4) = 2/8 = 1/4 - точка максимума.
Монотонность:
1) Найдем, где функция убывает, то есть производная y' < 0:
y' = \frac{4 - x^2}{(x^2 + 4)^2} < 0
(x^2 + 4)^2 > 0 при любом x
4 - x^2 = (2 - x)(2 + x) < 0
x ∈ (-oo; -2) U (2; +oo) - функция убывает.
2) Найдем, где функция возрастает, то есть производная y' > 0
4 - x^2 = (2 - x)(2 + x) > 0
x ∈ (-2; 2) - функция возрастает.
Ответ: y(-2) = -1/4; y(2) = 1/4