Задача 64388 Исследуйте функцию y=х/х^2+4 на...
Условие
Решение
Точки экстремума – это точки, в которых производная равна 0.
y′=x′(x2+4)−x∗(x2+4)′(x2+4)2=x2+4−x∗2x(x2+4)2=4−x2(x2+4)2=0
Дробь равна 0, если ее числитель равен 0, а знаменатель нет.
4 – x2 = 0
(2 – x)(2 + x) = 0
x1 = –2; y(–2) = –2/(4 + 4) = –2/8 = –1/4 – точка минимума.
x2 = 2; y(2) = 2/(4 + 4) = 2/8 = 1/4 – точка максимума.
Монотонность:
1) Найдем, где функция убывает, то есть производная y' < 0:
y' = \frac{4 – x2}{(x2 + 4)2} < 0
(x2 + 4)2 > 0 при любом x
4 – x2 = (2 – x)(2 + x) < 0
x ∈ (–oo; –2) U (2; +oo) – функция убывает.
2) Найдем, где функция возрастает, то есть производная y' > 0
4 – x2 = (2 – x)(2 + x) > 0
x ∈ (–2; 2) – функция возрастает.
Ответ: y(-2) = -1/4; y(2) = 1/4