Задача 64381 Вычислить и изобразить на комплексной...

6193afee7c282c3a2a3c7b9f

03.05.2022 20:36:44

Вычислить и изобразить на комплексной плоскости :

626fab9a354ab65fb2f43abb

03.05.2022 22:42:03

★

[m]z = \sqrt[8](-1) = \sqrt[4](\sqrt(-1)) = \sqrt[4](i)[/m]
Дальше нужно извлекать корень из комплексного числа.
t = i = 0 + 1*i = 1*(cos(π/2) + i*sin(π/2))
|t| = 1; φ = π/2
По формуле извлечения корней:
[m]z = \sqrt[4](t) = \sqrt[4](|t|)*(cos(\frac{\phi+2*\pi*k}{4}) + i*sin(\frac{\phi+2*\pi*k}{4}))[/m]
Подставляем наши значения:
[m]z = \sqrt[4](i) = \sqrt[4](1)*(cos(\frac{\pi/2+2\pi*k}{4}) + i*sin(\frac{\pi/2+2\pi*k}{4})) = cos(\frac{\pi+4\pi*k}{8}) + i*sin(\frac{\pi+4\pi*k}{8})[/m]
Это выражение принимает 4 разных значения при k = 0, 1, 2, 3.
[m]z1 = cos(\frac{\pi+4\pi*0}{8}) + i*sin(\frac{\pi+4\pi*0}{8}) = cos(\frac{\pi}{8}) + i*sin(\frac{\pi}{8})[/m]
[m]z2 = cos(\frac{\pi+4\pi*1}{8}) + i*sin(\frac{\pi+4\pi*1}{8}) = cos(\frac{5\pi}{8}) + i*sin(\frac{5\pi}{8})[/m]
[m]z3 = cos(\frac{\pi+4\pi*2}{8}) + i*sin(\frac{\pi+4\pi*2}{8}) = cos(\frac{9\pi}{8}) + i*sin(\frac{9\pi}{8})[/m]
[m]z4 = cos(\frac{\pi+4\pi*3}{8}) + i*sin(\frac{\pi+4\pi*3}{8}) = cos(\frac{13\pi}{8}) + i*sin(\frac{13\pi}{8})[/m]
На картинке я разметил углы и отметил точки:
z1 = π/8, z2 = 5π/8, z3 = 9π/8, z4 = 13π/8
Снаружи круга стоят числа: 1, i, -1, -i, а также решения.
Внутри круга написаны углы: от 0 до 7π/4 с шагом π/4, и решения.