Задача 64370 Найти решение задачи Коши....
Условие
Решение
Неоднородное диф. уравнение 1 порядка.
1 часть.
Замена: y = u*v, тогда y' = u'*v + u*v'
[m]u'*v + u*v' - \frac{2x}{1+x^2}*u*v = 1 + x^2[/m]
Вынесем u за скобки:
[m]u'*v + u*(v' - \frac{2x}{1+x^2}*v) = 1 + x^2[/m]
2 часть.
Скобку приравниваем к 0:
[m]v' - \frac{2x}{1+x^2}*v = 0[/m]
[m]dv/dx = \frac{2x}{1+x^2}*v[/m]
[m]dv/v = \frac{2x}{1+x^2} dx[/m]
Получили уравнение с разделёнными переменными.
Интегрируем обе части, но без константы C:
[m]ln (v) = ln (1+x^2)[/m]
Убираем логарифмы:
[m]v = 1 + x^2[/m]
3 часть.
Возвращаемся в 1 часть, где скобка равна 0, и подставляем v:
[m]u'*v + u*(v' - \frac{2x}{1+x^2}*v) = 1 + x^2[/m]
[m]u'*(1 + x^2) + u*0 = 1 + x^2[/m]
[m]u'*(1 + x^2) = 1 + x^2[/m]
[m]u' = 1[/m]
Интегрируем обе части, но уже с константой C:
[m]u = x + C[/m]
Обратная замена:
[b][m]y = u*v = (x + C)(1 + x^2)[/m]
[/b]Получили общий вид функции y. Теперь решаем задачу Коши:
[m]y(1) = 3[/m]
[m]3 = (1 + C)(1 + 1^2)[/m]
[m]1 + C = 3/(1 + 1^2) = 3/2[/m]
[m]C = 1/2 = 0,5[/m]
Окончательный ответ:
[b][m]y = (x + 0,5)(1 + x^2)[/m]
[/b]
Ответ: y = (x + 0,5)(1 + x^2)