Задача 64367 ...
Условие
Из сборника Минорского.
2311(3) (см. задачу 2297, чертёж!), 2304 (чертёж!), 2057, 2065, 2094, 2096.
Решение
[m]S= ∫ _{-1}^{2}(x+2-x^2)=(\frac{x^2}{2}+2x-\frac{x^3}{3})|_{-1}^{2}=(\frac{2^2}{2}+2\cdot 2-\frac{2^3}{3})-(\frac{(-1)^2}{2}+2\cdot (-1)-\frac{(-1)^3}{3})=[/m] считайте
2057
xy`-y=0
y`=dy/dx
xdy=ydx - уравнение с разделяющимися переменными
dy/y=dx/x
∫ dy/y= ∫ dx/x
ln|y|=ln|x|+C
[b]ln|y|-ln|x|=C[/b]
2065
2sqrt(x)dy=ydx - уравнение с разделяющимися переменными
dy/y=dx/(2sqrt(x))
∫ dy/y= ∫ dx/(2sqrt(x))
[b]ln|y|=sqrt(x) +C[/b]
при х=1; y=1
ln|1|=sqrt(1) +C
C=1
[b]ln|y|=sqrt(x) +1[/b]
2094
x^2+y^2-2xy*y`=0- однородное второй степени
Замена
y/x=u
y=u*x
y`=u`*x+ux`
x`=1 ( так как х - независимая переменная)
y`=u`*x+u
получаем уравнение
x^2+(u*x)^2-2x*u*x*(u`*x+u)=0 ⇒ x^2+u^2x^2-2x^3*u*u`-2x^2*u^2=0
x^2-u^2x^2=2x^3*u*u`
получаем уравнение с разделяющимися переменными
x^2(1-u^2)=2x^3*u*u`
u`=du/dx
dx/x=2udu/(1-u^2)
∫ dx/x= ∫ 2udu/(1-u^2)
ln|x|=ln|1-u^2|+C
[b]ln|x|=ln|1-(y/x)^2|+C[/b]
Можно вместо С взять lnC
и применить свойства логарифмов.
2096
y`-3*(y/x)=x
y`-3*(1/x)*y=x - линейное уравнение первой степени
Находим решение в виде произведения двух произвольных функций
y=u*v
y`=u`*v+u*v`
u`*v+u*v`-3*(1/x)*u*v=x
Группируем
u`*v+u*(v`-3*(1/x)*v)=x
Полагая
(v`-3*(1/x)*v)=0
получаем
u`*v=x
Решаем два уравнения разделяющимися переменными.
(v`-3*(1/x)*v)=0
dv/v=-3dx/x
ln|v|=-3ln|x|
ln|v|=ln|x|^{-3)
v=x^(-3)
Подставляем во второе
u`*v=x
u`x^(-3)=x
u`=x^(-2)
u=(-1/x) + C
y=u*v
y=((-1/x) + C)*x^(-3)
[b]y=-x^(-4)+C*x^(-3)[/b]
