Задача 64353 Нужно вычислить определенный интеграл....
Условие
Решение
[m]e^{x}=t[/m]
⇒
[m]x=lnt[/m]
[m]dx=(lnt)`dt[/m]
[m]dx=\frac{1}{t}dt[/m]
[m]e^{-x}=(e^{x})^{-1}=t^{-1}=\frac{1}{t}[/m]
Пределы интегрирования:
если [m]x=0[/m], то [m]t=e^{0}=1[/m]
если [m]x=ln2[/m], то [m]t=e^{ln2}=2[/m]
[m] ∫ _{0}^{ln2}\frac{dx}{e^{x}\cdot (3+e^{-x})}= ∫ _{1}^{2}\frac{\frac{1}{t}dt}{t\cdot (3+\frac{1}{t})}=∫ _{1}^{2}\frac{dt}{t(3t+1)}=[/m]
получили интеграл от рациональной дроби.
Раскладываем на простейшие дроби или выделяем полный квадрат
1)
[m]∫ _{1}^{2}\frac{dt}{t(3t+1)}=∫ _{1}^{2}(\frac{1}{t}-\frac{3}{3t+1})dt=(ln|t|-ln|3t+1|)_{1}^{2}=[/m]
[m]=ln2-ln(3\cdot 2+1)-(ln1-ln(3\cdot1+1))=ln2-ln7+ln4=ln2\cdot 4-ln7=ln\frac{8}{7}[/m]
2)
[m]3t^2+t=3(t^2+\frac{1}{3})=3(t^2+2\cdot t\cdot \frac{1}{6}+(\frac{1}{6})^2-(\frac{1}{6})^2)=3\cdot( (t+\frac{1}{6})^2-\frac{1}{36})[/m]
[m]∫ _{1}^{2}\frac{dt}{t(3t+1)}=∫ _{1}^{2}\frac{1}{3((t+\frac{1}{6})^2-\frac{1}{36})}dt=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2\cdot \frac{1}{6}}ln\frac{t+\frac{1}{6}-\frac{1}{6}}{(t+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}})|_{1}^{2}=[/m]
[m]=(ln\frac{t}{t+\frac{2}{6}})|_{1}^{2}=ln\frac{2}{2+\frac{2}{6}}-ln\frac{1}{1+\frac{1}{3}}=ln\frac{\frac{6}{7}}{\frac{3}{4}}=ln\frac{8}{7}[/m]