Задача 64344 Даны: функция точка и вектор Найти 1) в...
Условие
Решение
A(1:1)
vector{a}=(6;-8)
1)
Градиент:
[m]grad u=\frac{ ∂z }{ ∂x }\vec{i}+\frac{ ∂z }{ ∂y }\vec{j}[/m]
Градиент в точке:
[m]grad u|_{A}=\frac{ ∂z }{ ∂x }|_{A}\vec{i}+\frac{ ∂z }{ ∂y }|_{A}\vec{j}[/m]
Находим частные производные
[m]\frac{ ∂z }{ ∂x }=(5x^2y+3xy^2)`_{x}=5y\cdot (x^2)`_{x}+3y^2\cdot (x)`_{x}=10xy+3y^2[/m]
[m]\frac{ ∂z }{ ∂y }=(5x^2y+3xy^2)`_{y}=5x^2\cdot(y)`_{y}+3x\cdot (y^2)`_{y}=5x^2+6xy[/m]
Находим частные производные в точке:
[m]\frac{ ∂z }{ ∂x }_{A}=10+3=13[/m]
[m]\frac{ ∂z }{ ∂y }_{A}=5+6=11[/m]
Градиент в точке:
[m]grad u|_{A}=13\vec{i}+11\vec{j}[/m]
2)
Производная по направлению:
[m]\frac{ ∂z }{ ∂l }=\frac{ ∂z }{ ∂x }cos α +\frac{ ∂z }{ ∂y }cos β [/m]
Производная по направлению в точке:
[m]\frac{ ∂z }{ ∂l }|_{A}=\frac{ ∂z }{ ∂x }|_{A}cos α +\frac{ ∂z }{ ∂y }|_{A}cos β [/m]
Находим координаты направляющего вектора: [m]\vec{a}=(6;-8)[/m]
[m]|\vec{a}|=\sqrt{6^2+(-8)^2}=\sqrt{100}=10[/m]
Направляющие косинусы:
[m]cos α =\frac{6}{10}[/m]; [m]cos β =-\frac{8}{10}[/m];
Производная по направлению в точке:
[m]\frac{ ∂z }{ ∂l }|_{A}=(13)\cdot\frac{6}{10}+11\cdot(-\frac{8}{10})=[/m]