Задача 64313 Решите неравенство sqrt(x+3) -...
Условие
Решение
[m]\left\{\begin {matrix}x+3 ≥ 0\\-x-1 ≥ 0\\(x+3)(-x-1) ≥ 0\end {matrix}\right.[/m] ⇒ [m]\left\{\begin {matrix}x ≥ -3\\x ≤ -1\\(x+3)(x+1) ≤ 0\end {matrix}\right.[/m] ⇒ -3 ≤ x ≤ -1
1.
Если [m]\sqrt{x+3}-\sqrt{-x-1} <0[/m], неравенство верно при любых х, принадлежащих ОДЗ.
[m]\sqrt{x+3}<\sqrt{-x-1} [/m]
[m]x+3<-x-1 [/m]
[m]2x<-4[/m]
[m]x<-2[/m]
Получаем решение первого случая: [m][-3;-2)[/m]
2.
Если [m]\sqrt{x+3}-\sqrt{-x-1} ≥ 0[/m], возводим обе части неравенства в квадрат:
[m]\left\{\begin {matrix}\sqrt{x+3}-\sqrt{-x-1} ≥ 0\\(x+3)-2\sqrt{x+3}\cdot \sqrt{-x-1}+(-x-1)< 1+2\sqrt{(x+3)\cdot (-x-1)}+(x+3)(-x-1)\end {matrix}\right.[/m]
[m]\left\{\begin {matrix}x ≥ -2\\2<1+ 4\sqrt{(x+3)\cdot (-x-1)}+(x+3)(-x-1)\end {matrix}\right.[/m]
Второе неравенство сводим к квадратному :
[m]t^2+4t-1 >0[/m], обозначив [m]\sqrt{(x+3)\cdot (-x-1)}=t[/m], t >0
D=16+4=20
Решением которого является
[m] t > \sqrt{5}-2[/m]
Обратный переход:
[m] \sqrt{(x+3)\cdot (-x-1)} > \sqrt{5}-2[/m] ⇒ возводим в квадрат [m](x+3)\cdot (-x-1)>5-4\sqrt{5}+4[/m]
[m]-x^2-3x-x-3>9-4\sqrt{5}[/m]
[m]x^2+4x+12-4\sqrt{5}<0[/m]
D=16-4*(12-4*sqrt(5))=16-48+16*sqrt(5)=16*sqrt(5)-32=16*(sqrt(5)-2)
[m]x_{1}=\frac{-4-4\sqrt{\sqrt{5}-2}}{2}[/m];[m]x_{2}=\frac{-4+4\sqrt{\sqrt{5}-2}}{2}[/m]
[m]x_{1}=-2-2\sqrt{\sqrt{5}-2}[/m];[m]x_{2}=-2+2\sqrt{\sqrt{5}-2}[/m]
Тогда решение неравенства:
[m]-2-2\sqrt{\sqrt{5}-2}<x<-2+2\sqrt{\sqrt{5}-2}[/m]
и решение второй системы:
[m]\left\{\begin {matrix}x ≥ -2\\-2-2\sqrt{\sqrt{5}-2}<x<-2+2\sqrt{\sqrt{5}-2}\end {matrix}\right.[/m] ⇒
[m][-2; -2+2\sqrt{\sqrt{5}-2})[/m]
Учитывая, ОДЗ:-3 ≤ x ≤ -1
сравним [m]-2+2\sqrt{\sqrt{5}-2}[/m] c [m]-1[/m]
или что то же самое
[m]2\sqrt{\sqrt{5}-2}[/m] c [m]1[/m]
[m]4(\sqrt{5}-2)[/m] c [m]1[/m]
[m]4\sqrt{5}[/m] c [m]9[/m]
[m]16\cdot 5[/m] c [m]81[/m]
Так как [m]16\cdot 5[/m] < [m]81[/m], значит [m]-2+2\sqrt{\sqrt{5}-2}[/m] < [m]-1[/m]
О т в е т второго случая [m][-2; -2+2\sqrt{\sqrt{5}-2})[/m]
Объединяем ответы [m][-3;-2)[/m]U[m][-2; -2+2\sqrt{\sqrt{5}-2})[/m]
и получаем
О Т В Е Т. [m][-3; -2+2\sqrt{\sqrt{5}-2})[/m]