Задача 64310 Вычислить и изобразить на комплексной...
Условие
Решение
[m]z=2+2\sqrt{3}i[/m]
Запишем число в тригонометрической форме
Если
[m]z=x+iy[/m] , то [m]|z|=\sqrt{x^2+y^2}[/m]; [m]sin φ =\frac{y}{|z|}[/m]; [m]cos φ =\frac{x}{|z|}[/m].
[m]z=2+2\sqrt{3}i[/m] ⇒ [m]x=2[/m]; [m]y=2\sqrt{3[/m]
[m] |z|=\sqrt{2^2+(2\sqrt{3})^2}=4[/m]
[m]cos φ =\frac{2}{4}[/m]; [m]sin φ =\frac{2\sqrt{3}}{4}[/m].
[m]cos φ =\frac{1}{2}[/m]; [m]sin φ =\frac{\sqrt{3}}{2}[/m].
[m]φ =\frac{π}{3}[/m]
[m]z=4\cdot (cos(\frac{π}{3})+isin(\frac{π}{3}))[/m] - тригонометрическая форма числа [m]z=2+2\sqrt{3}i[/m]
Применяем формулу Муавра.
∛(2+2·√3*i)=∛4[m](cos\frac{(\frac{π}{3})+2πk}{3}+isin\frac{(\frac{π}{3})+2πk}{3}), k ∈[/m] Z
при k=0
первый корень
z_(o)=∛4·[m](cos\frac{(-\frac{π}{3})}{3}+isin\frac{(\frac{π}{3})}{3})=[/m]∛4·[m](cos\frac{(π)}{9}+isin\frac{(π)}{9})[/m]
при k=1
второй корень
z_(1)=∛4·[m](cos\frac{(\frac{π}{3})+2π}{3}+isin\frac{(\frac{2π}{3})+2π}{3})[/m]=[/m]∛4·[m](cos\frac{(7π)}{9}+isin\frac{(7π)}{9})[/m]
при k=2
третий корень
z_(2)=∛4[m](cos\frac{(\frac{π}{3})+4π}{3}+isin\frac{(\frac{π}{3})+4π}{3})[/m]=∛16·[m](cos\frac{(13π)}{9}+isin\frac{(13π)}{9})[/m]
Корни расположены на окружности радиуса ∛4
Первая точка zo на пересечении окружности радиуса ∛ и радиуса, образующего угол (π/9) c осью Ох
Вторая точка z1 на пересечении окружности радиуса ∛4 и радиуса, образующего угол (7π/9) c осью Ох
Вторая точка z2 на пересечении окружности радиуса ∛4 и радиуса, образующего угол (13π/9 )c осью Ох
Точки zo;z1;z2 делят окружность на [b]три[/b] ( потому что корень третьей степени) равные части, каждая по 120 °
