Задача 64309 Вычислить выражение ...
Условие
Решение
Запишем число в тригонометрической форме
Если
[m]z=x+iy[/m] , то [m]|z|=\sqrt{x^2+y^2}[/m]; [m]sin φ =\frac{y}{|z|}[/m]; [m]cos φ =\frac{x}{|z|}[/m].
[m]z_{1}=\sqrt{3}+i[/m] ⇒ [m]x=\sqrt{3}[/m]; [m]y=1[/m]
[m] |z|=\sqrt{(\sqrt{3})^2+1}=2[/m]
[m]cos φ =\frac{\sqrt{3}}{2}[/m]; [m]sin φ =\frac{1}{2}[/m].
[m]φ =\frac{π}{6}[/m]
[m]z=2\cdot (cos\frac{π}{6}+isin\frac{π}{6})[/m] - тригонометрическая форма числа [m]z=\sqrt{3}+i[/m]
Найдем
[m] (\sqrt{3}+i)^{10}[/m]
Применяем формулу Муавра:
[m] (\sqrt{3}+i)^{10}=2^{10}(cos10\cdot \frac{π}{6}+isin 10\cdot\frac{π}{6})=2^{10}(cos \frac{5π}{3}+isin \frac{5π}{3})[/m]
[m] (\sqrt{3}+i)^{10}=2^{10}e^{\frac{5π}{3}i}[/m]
Аналогично находим степень второго числа
[m]z_{2}=\sqrt{12}-2i[/m]
[m] z_{2}=4e^{-arctg\frac{\sqrt{12}}{6}πi}[/m]
[m](\sqrt{12}-2i)^4=4^{4}\cdot e^{-4arctg\frac{\sqrt{12}}{6}πi} [/m]
И результат перемножаем
[m] (\sqrt{3}+i)^{10}\cdot (\sqrt{12}-2i)^{4}=2^{10}\cdot 4^{4}\cdot e^{\frac{5π}{3}i}\cdot e^{-4arctg\frac{\sqrt{12}}{6}πi} [/m]
[m] (\sqrt{3}+i)^{10}\cdot (\sqrt{12}-2i)^{4}=2^{18}\cdot e^{(\frac{5π}{3}-4arctg\frac{\sqrt{12}}{6}π)i}\cdot [/m]
При умножении комплексных чисел
модули [b]перемножаются[/b], а аргументы [b]складываются[/b]
