Задача 64279 Решить систему диффиренуиальных...
Условие
Решение
x`(t)=2x-2y\\y`(t)=-4x \end{matrix}\right.[/m]
Выразим из второго уравнения [m]x[/m] и подставим в первое уравнение:
[m]\left\{\begin{matrix}
(-\frac{1}{4}y`)`=2\cdot (-\frac{1}{4}y`)-2y\\x=-\frac{1}{4}y`\end{matrix}\right.[/m]
Решаем первое уравнение:
[m](-\frac{1}{4}y`)`=2\cdot (-\frac{1}{4}y`)-2y[/m]
[m]-\frac{1}{4}y``+\frac{1}{2}y`+2y=0[/m]
[m]y``-2y`-8y=0[/m]
получили линейное [i]однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами[/i]
Cоставляем характеристическое уравнение:
[m]k^2-2k-8=0[/m]
D=4+32=36
[m]k_{1}=-2[/m] или [m]k_{2}=4[/m] - корни действительные различные
Общее решение однородного уравнения имеет вид:
y_(общее однород)=[m]C_{1}\cdot e^{-2t} +C_{2}\cdot e^{4t}[/m]
Находим
y`_(общее однород)=[m]C_{1}\cdot e^{-2t}\cdot (-2t)` +C_{2}\cdot e^{4t}\cdot (4t)`[/m]
y`_(общее однород)=[m]-2C_{1}e^{-2t} +4C_{2}\cdot e^{4t}[/m]
x_(общее однород)=[m]-\frac{1}{4}y`=\frac{1}{2}C_{1}e^{-2t} -C_{2}\cdot e^{4t}[/m]
Итак, общее решение системы:
[m]\left\{\begin{matrix}x=\frac{1}{2}C_{1}e^{-2t} -C_{2}\cdot e^{4t}\\y=C_{1}\cdot e^{-2t} +C_{2}\cdot e^{4t}\end{matrix}\right.[/m]
Начальные условия:
x(0)=3
y(0)=1
подставляет в общее решение системы и получаем систему двух уравнений относительно C_(1) и C_(2):
[m]\left\{\begin{matrix}3=\frac{1}{2}C_{1} -C_{2}\\1=C_{1}+C_{2}\end{matrix}\right.[/m]
Решаем способом сложения:
[m]\left\{\begin{matrix}4=\frac{3}{2}C_{1} \\C_{2}=1-C_{1}\end{matrix}\right.[/m]
[m]\left\{\begin{matrix}C_{1} =\frac{8}{3}\\C_{2}=1-\frac{8}{3}\end{matrix}\right.[/m]
[m]\left\{\begin{matrix}C_{1} =\frac{8}{3}\\C_{2}=-\frac{5}{3}\end{matrix}\right.[/m]
частное решение системы, соответствующее начальным условиям:
x(0)=3
y(0)=1
[m]\left\{\begin{matrix}x=\frac{4}{3}e^{-2t} +\frac{5}{3}\cdot e^{4t}\\y=\frac{8}{3}\cdot e^{-2t} -\frac{5}{3}\cdot e^{4t}\end{matrix}\right.[/m]