Задача 64267 Проверить потенциальность поля и найти...
Условие
Решение
[m] rot \vec{a}=[/m]
[m]=\begin {vmatrix} \vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\\frac{ ∂}{ ∂ x} &\frac{ ∂}{ ∂y} &\frac{ ∂}{ ∂ z} \\(yz+1)&xz&xy\end {vmatrix}=(\frac{ ∂}{ ∂ y}(xy)-\frac{ ∂}{ ∂ z}(xz))\vec{i}-(\frac{ ∂}{ ∂ x}(xy)-\frac{ ∂}{ ∂ z}(yz+1))\vec{j}+(\frac{ ∂}{ ∂ x}(xz)-\frac{ ∂}{ ∂ y}(yz+1))\vec{k}=[/m]
[m]=(x-x)\vec{i}-(y-y)\vec{j}+(z-z)\vec{k}=0[/m]
[m]rot\vec{a}=0[/m] - достаточное условие потенциальности поля.
Поле [i]потенциальное[/i].
Потенциал ( см. формулу в скрине)
x_(o)=0
y_(o)=0
z_(o) =0
P(x;y;z)=yz+1
Q(x;y;z)=xz
R(x;y;z)=xy
[m]u(M)=∫_{0} ^{x}(0+1)d ξ +∫_{0} ^{y}0\cdot zd η + ∫_{0} ^{z}xyd ζ =x+xyz[/m]
Проверка
[m]grad u(M)=(1+yz)\vec{i}+xz\vec{j}+xy\vec{k}=\vec{a}[/m]
Таким образом [m]u(M)=x+xyz[/m] является потенциалом векторного поля [m]\vec{a}=(1+yz)\vec{i}+xz\vec{j}+xy\vec{k}[/m]