Задача 64247 Найти предел...
Условие
Решение
При x → - ∞
arcctg x → π
Поэтому
[m]lim_{x → - ∞ } arcctg x \cdot \frac{x^2+1}{x}=π\cdot lim_{x → - ∞ }\frac{x^2+1}{x}= - ∞ [/m]
При x → + ∞
arcctgx → 0
Поэтому
[m] arcctg x \cdot \frac{x^2+1}{x} → 0\cdot (+ ∞ )[/m] -[red] неопределенность[/red],
которую [b]надо устранить[/b]
Преобразуем выражение под знаком предела:
[m]arcctg x \cdot \frac{x^2+1}{x}= arc ctgx \cdot x\cdot \frac{x+\frac{1}{x}}{x}[/m]
Так как [m] lim_{x → +∞ } \frac{x+\frac{1}{x}}{x}=1[/m]
[m] lim_{x → + ∞ }x\cdot arc ctgx = lim_{x → +∞ }\frac{arcctgx}{\frac{1}{x}}=[/m] применяем правило Лопиталя:
[m]= lim_{x →+ ∞ }\frac{(arcctgx)`}{(\frac{1}{x})`}= lim_{x → + ∞ }\frac{-\frac{1}{x^2+1}}{-\frac{1}{x^2}}=1[/m]
О т в е т. [m]lim_{x → ∞ }arcctg x \cdot \frac{x^2+1}{x}[/m] = [m]\left\{\begin {matrix}- ∞ при x → -∞\\1 при x → +∞\end {matrix}\right.[/m]
т. е [m]lim_{x → ∞ }arcctg x \cdot \frac{x^2+1}{x}[/m] не существует
точно также как
[m]lim_{x → + ∞ }arcctg x =0[/m]
[m]lim_{x → - ∞ }arcctg x =π[/m]
[m]lim_{x → ∞ }arcctg x [/m] [b]не существует [/b]
Все решения
