Задача 64236 Пользуясь определением и формулой...
Условие
Решение
1.
Несобственный интеграл первого рода с бесконечным верхним пределом.
Замена переменной
[m]\sqrt{x}=t[/m]
[m]x=t^2[/m]
[m]dx=2tdt[/m]
[m] ∫_{0} ^{+ ∞ }e^{-t}\cdot t^2\cdot 2tdt=2∫_{0} ^{+ ∞ }e^{-t}\cdot t^3dt[/m]
интегрирование по частям [m]u=t^3[/m] ⇒ [m]du=3t^2dt[/m]
[m]dv=e^{-t}dt[/m]
[m]v=-e^{-t}[/m]
[blue][m]=-2t^3e^{-t}|_{0} ^{+ ∞ }-2∫_{0} ^{+ ∞ }(-e^{-t})\cdot 3t^2dt=[/m][/blue]
[blue][m]=-2t^3e^{-t}|_{0} ^{+ ∞ }-6∫_{0} ^{+ ∞ }(-e^{-t})\cdot t^2dt=[/m][/blue]
интегрирование по частям
[m]u=t^2[/m] ⇒ [m]du=2tdt[/m]
[m]dv=-e^{-t}dt[/m]
[m]v=e^{-t}[/m]
[blue][m]=-2t^3e^{-t}|_{0} ^{+ ∞ }-6e^{-t}\cdot t^2)|_{0} ^{+ ∞ }+6∫_{0} ^{+ ∞ }(e^{-t})\cdot 2tdt)=[/m][/blue]
[blue][m]=-2t^3e^{-t}|_{0} ^{+ ∞ }-6e^{-t}\cdot t^2)|_{0} ^{+ ∞ }+12∫_{0} ^{+ ∞ }(e^{-t})\cdot tdt)=[/m][/blue]
интегрирование по частям
[m]u=t[/m] ⇒ [m]du=dt[/m]
[m]dv=e^{-t}dt[/m]
[m]v=-e^{-t}[/m]
[blue][m]=-2t^3e^{-t}|_{0} ^{+ ∞ }-6(e^{-t}\cdot tdt)|_{0} ^{+ ∞ }+12(-e^{-t}\cdot t)|_{0} ^{+ ∞ }-12∫_{0} ^{+ ∞ }(-e^{-t})\cdot dt=[/m][/blue]
[blue][m]=-2t^3e^{-t}|_{0} ^{+ ∞ }-6(e^{-t}\cdot tdt)|_{0} ^{+ ∞ }+12e^{-t}\cdot t)|_{0} ^{+ ∞ }+12∫_{0} ^{+ ∞ }(-e^{-t})\cdot dt)=[/m][/blue]
...
Подставляя ∞ считаем пределы, применяем правило Лопиталя
2
Особенность в нуле.
Несобственный интеграл второго рода
[m] ∫_{0}^{π }\frac{dx}{1-cosx}=∫_{0}^{π }\frac{dx}{2sin^2\frac{x}{2}}=(-ctg\frac{x}{2})|_{0}^{π }= -ctg\frac{π}{2}+lim_{x → 0}ctg\frac{x}{2}[/m] расходится. так как [m] lim_{x → 0}ctg\frac{x}{2}= ∞ [/m]