Задача 64197 Вычислить данный тройной интеграл...
Условие
математика ВУЗ
181
Решение
★
z=x - плоскость, которая проходит через ось Oy
⇒ 0 ≤ z ≤ x
[m]V= ∫ ∫_{V}dxdydz= ∫ ∫ _{D}( ∫^{x}_{0}dz) dxdy=∫ ∫ _{D}(z)|^{x}_{0}dxdy=∫ ∫ _{D}xdxdy=[/m]
Нас интересует область D на плоскости хОу
Cм. рис.
В случаях, когда область ограничена окружностью
переходят к полярным координатам
x= ρ cos θ
y= ρ sin 0
-π/2 ≤ θ ≤ π/2
0 ≤ ρ ≤ 2
dxdy= ρ d ρ d θ
[m]= ∫^{2}_{0} ∫_{-π/2} ^{ π/2}( ρ cos θ \cdot ρ d θ )d ρ =∫^{2}_{0} ρ ^2(sin θ )|_{-π/2} ^{ π/2}d ρ =∫^{2}_{0} ρ ^2(sin (π/2)-sin(-π/2))d ρ=[/m]
[m]=∫^{2}_{0} ρ ^2(1-(-1))d ρ =2\cdot(\frac{ ρ ^3}{3})|^{2}_{0} =2\cdot \frac{8}{3}=\frac{16}{3}