Задача 64185 Найти градиент функции u=u(x,y,z) и ее...

626001b9df5e297460eda97c

21.04.2022 12:48:07

Найти градиент функции u=u(x,y,z) и ее производную в точке P(x0,y0,z0)в направлении вектора PP1.
u=x sinz+e^y P0(1;0;0) P1(0;2;2)

5f3ea7e3faf909182968ddd9

21.04.2022 12:53:36

★

[m]grad u=\frac{ ∂u }{ ∂x }\vec{i}+\frac{ ∂u }{ ∂y }\vec{j}+\frac{ ∂u }{ ∂z }\vec{k}[/m]

Находим частные производные

[m]\frac{ ∂u }{ ∂x }=(x sinz+e^{y})`_{x}=sinz[/m]

[m]\frac{ ∂u}{ ∂y }=(x sinz+e^{y})`_{y}=e^{y}[/m]

[m]\frac{ ∂u}{ ∂z }=(x sinz+e^{y})`_{y}=x cosz[/m]



Находим частные производные в точке P_(o):


[m]\frac{ ∂u }{ ∂x }|_{P_{o}}=sin0=0[/m]

[m]\frac{ ∂u }{ ∂y }|_{P_{o}}=e^{0}=1[/m]

[m]\frac{ ∂u }{ ∂z }|_{P_{o}}=1cos0=1[/m]

[m]grad u(P_{o}=\vec{j}+\vec{k}[/m]


б)Производная по направлению:

[m]\frac{ ∂u }{ ∂l }=\frac{ ∂u }{ ∂x }cos α +\frac{ ∂u }{ ∂y }cos β+ +\frac{ ∂u }{ ∂z }cos γ [/m]


Направление задано вектором

[m]\vec{P_{o}P_{1}}=(0-1;2-0;2-0)=(-1;2;2)[/m]

Находим направляющие косинусы этого вектора:

[m]cos α =\frac{-1}{\sqrt{(-1)^2+2^2+2^2}}=-\frac{1}{3}[/m];

[m]cos β =\frac{2}{\sqrt{(-1)^2+2^2+2^2}}=\frac{2}{3}[/m];

[m]cos γ =\frac{2}{\sqrt{(-1)^2+2^2+2^2}}=\frac{2}{3}[/m];


Производная по направлению в точке P_(o)

( производные в точке вычислены в пункте а)

[m]\frac{ ∂u }{ ∂l }=0\cdot ( -\frac{1}{3})+1\cdot \frac{2}{3} +1\cdot \frac{2}{3}=\frac{4}{3} [/m]