Задача 64182 1. Найти производную функций: 2,4,6. 2....
Условие
2. Исследуйте функции и постройте график: 2
Решение
По правилам:
производная суммы равна сумме производных
постоянный множитель можно вынести за знак производной
Свойства степени с целым показателем:
[r][m]a^{-n}=\frac{1}{a^{n}[/m][/r]
Производная степенной функции
[r][m](x^{ α }= α x^{ α -1}[/m][/r]
[m]y`=(\frac{1}{2x^3}+\frac{4}{x})`=(\frac{1}{2x^3})`+(\frac{4}{x})`=\frac{1}{2}(x^{-3})`+4(x^{-1})`=\frac{1}{2}\cdot (-3)x^{-4}+4\cdot(-1)x^{-2}=-\frac{3}{2x^4}-\frac{4}{x^2}[/m]
2)
По правилу производная произведения
[m]y`=(3-2x)`\cdot (\sqrt{x})+(3-2x)\cdot (\sqrt{x})`=-2\cdot \sqrt{x}+(3-2x)\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}[/m]
3)
По правилу производная частного:
[r][m] y`=\frac{u`\cdot v-u\cdot v`}{v^2}[/m][/r]
[m]y`=\frac{(3x-1)`\cdot (x^2+1)-(3x-1)\cdot (x^2+1)`}{(x^2+1)^2}=\frac{3\cdot (x^2+1)-(3x-1)\cdot (2x)}{(x^2+1)^2}=[/m] можно упростить
2.
1.
Область определения (- ∞ ;+ ∞ )
y`=(6x^2-2x^3)`=12x-6x^2
y`=0
12x-6x^2=0
6x*(2-x)=0
x=0 или х=2
Расставляем знак производной
Например, так : y`(10) <0
далее чередуем справа налево:
__-__ (0) _+___ (2) ___-__
х=2 - точка максимума, производная меняет знак с + на -
х=0 - точка минимума, производная меняет знак с - на +
y`< 0 на (- ∞ ;0) и на (2;+ ∞ )
Функция убывает на на (- ∞ ;0) и на (2;+ ∞ )
y`>0 на (0;2)
Функция возрастает на на (0;2)
y``=(12x-6x^2)`
y``=12-12x
y``=0
x=1 - точка перегиба, вторая производная меняет знак с + на -
y``>0 на (- ∞ ;1)
Функция выпукла вниз на (- ∞ ;1)
y``< 0 на (1;+ ∞ )
Функция выпукла вверх на (1;+ ∞ )
