Задача 64169 Нужно найти неопределенный интеграл....
Условие
математика ВУЗ
90
Решение
★
[m]\sqrt[4]{x}=t[/m] ⇒ [m]x=t^4[/m] ⇒ [m]\sqrt{x}=t^2[/m]
[m]dx=(t^4)`dt[/m]
[m]dx=4t^3dt[/m]
[m] ∫ \frac{\sqrt[4]{x}+\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}dx= ∫ \frac{t+t^2}{t^2+1}4t^3dt=4 ∫ \frac{t^4+t^5}{t^2+1}dt= [/m]
неправильная дробь. Выделяем целую часть
[m] =4∫ (t^3+t^2-t-1+\frac{t+1}{t^2+1})dt=4\cdot (\frac{t^4}{4}+\frac{t^3}{3}-\frac{t^2}{2}-t+\frac{1}{2}ln(t^2+1)+arctgt)+C=[/m]
[m]=t^4+\frac{4}{3}t^3-2t^2-4t+2ln(t^2+1)+4arctgt+C=[/m]
Обратный переход к переменной х:
[m]=x+\frac{4}{3}\sqrt[4]{x^3}-2\sqrt{x}-4\sqrt[4]{x}+2ln(\sqrt{x}+1)+4arctg\sqrt[4]{x}+C[/m]