Задача 64068 три числа являются первым вторым и...

6256c1df173cfe7a48ab56f6

15.04.2022 14:35:33

три числа являются первым вторым и третьим членами арифметической прогрессии и соответственно первым и третьим и вторым членами геометрической прогрессии Найдите эти числа если известно что сумма квадрата первого из них и удвоенного второго и утроенного третьего равна 3/4

5f3ea7e3faf909182968ddd9

15.04.2022 14:51:11

★

a_(1); a_(2); a_(3)

a_(2)=a_(1)+d

a_(3)=a_(1)+2d

a_(1); a_(1)+d; a_(1)+2d - первый; второй и третий члены арифметической прогрессии



b_(1); b_(2)=b_(1)*q; b_(3)=b_(1)*q^2- члены геометрической прогрессии

причем

a_(1)=b_(1)

a_(3)=b_(2) ⇒ a_(1)+2d =b_(1)*q

a_(2)=b_(3) ⇒ a_(1)+d=b_(1)*q^2





b^2_(1)+2b_(2)+3b_(3)=(3/4)



[b]b^2_(1)+2*(b_(1)*q)+3*(b_(1)*q^2)=(3/4)[/b]

[b]b_(1)=a_(1)[/b]
[b]b_(1)*q=a_(1)+2d[/b] ⇒ [b]a_(1)*q=a_(1)+2d[/b] ⇒ a_(1)*(q-1)=2d[/m] ⇒[red] a_(1)=2d/(q-1)[/red]
[b]b_(1)*q^2= a_(1)+d[/b] ⇒ [b]a_(1)*q^2= a_(1)+d[/b] ⇒ a_(1)*(q^2-1)=d ⇒[red] a_(1)=d/(q^2-1)[/red]

Приравниваем правые части[red] 2d/(q-1)=d/(q^2-1)[/red] ⇒[blue] 2/(q-1)=1/(q-1)(q+1)[/blue] ⇒ q=-1/2

Тогда из уравнения:
[b]a^2_(1)+2*(a_(1)*q)+3*(a_(1)*q^2)=(3/4)[/b]

[b]a^2_(1)+2*(a_(1)*(-1/2))+3*(a_(1)*(-1/2)^2)=(3/4)[/b]

Найдем a_(1)

и затем

d= a_(1)*(q^2-1)