Задача 64061 ...
Условие
Найти частные производные данных функции по каждой из независимых переменных (x,y). z=ln(x+(√x²+y²)). ВАЖНО❗подробно расписать как нашли dz/dx и dz/dy
Решение
[m]z`=(lnu)`=\frac{1}{u}\cdot u`[/m]
[m]\frac{ ∂ z}{ ∂ x}=(ln(x+\sqrt{x^2+y^2}))`_{x}=\frac{1}{x+\sqrt{x^2+y^2}} \cdot (x+\sqrt{x^2+y^2})`_{x}=\frac{1}{x+\sqrt{x^2+y^2}}\cdot (1+\frac{1}{2\sqrt{x^2+y^2}}\cdot (x^2+y^2)`_{x})=[/m]
[m]=\frac{1}{x+\sqrt{x^2+y^2}}\cdot (1+\frac{1}{2\sqrt{x^2+y^2}}\cdot (2x))=\frac{1}{x+\sqrt{x^2+y^2}}\cdot(1+\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}})=\frac{1}{x+\sqrt{x^2+y^2}}\cdot(\frac{\sqrt{x^2+y^2}+x}{\sqrt{x^2+y^2}}=\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}[/m]
[m]\frac{ ∂ z}{ ∂y}=(ln(x+\sqrt{x^2+y^2}))`_{y}=\frac{1}{x+\sqrt{x^2+y^2}} \cdot (x+\sqrt{x^2+y^2})`_{y}=\frac{1}{x+\sqrt{x^2+y^2}}\cdot (0+\frac{1}{2\sqrt{x^2+y^2}}\cdot (x^2+y^2)`_{y})=[/m]
[m]=\frac{1}{x+\sqrt{x^2+y^2}}\cdot (\frac{1}{2\sqrt{x^2+y^2}}\cdot (2y))=\frac{1}{x+\sqrt{x^2+y^2}}\cdot(\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}})=\frac{y}{(x+\sqrt{x^2+y^2})\cdot\sqrt{x^2+y^2}}[/m]