Задача 64060 Определить интеграл сходимости рядов...
Условие
Решение
[m]u_{n}=\frac{3^{n}}{\sqrt{5^{n}}}x^{n}[/m]
Рассматриваем ряд из модулей и применяем к знакоположительному ряду признак Даламбера.
Находим
[m]lim_{n → ∞} \frac{|u_{n+1}|}{|u_{n}|}=lim_{n → ∞} \frac{\frac{3^{n+1}}{\sqrt{5^{n+1}}}|x|^{(n+1)}}{\frac{3^{n}}{\sqrt{5^{n}}}|x|^{n}}=|x|\frac{3}{\sqrt{5}}[/m]
Если [m] |x|\frac{3}{\sqrt{5}} < 1[/m] то согласно признака Даламбера ряд из модулей сходится.
Тогда данный ряд сходится абсолютно при
[m] |x| < \frac{\sqrt{5}}{3}[/m] ⇒ [m] - \frac{\sqrt{5}}{3}<x < \frac{\sqrt{5}}{3}[/m] ⇒
[m] (- \frac{\sqrt{5}}{3}; \frac{\sqrt{5}}{3})[/m]- интервал сходимости.
Чтобы найти область сходимости, проверяем сходимость данного ряда на концах интервала
При [m]x=- \frac{\sqrt{5}}{3}[/m] получаем ряд [m]∑ (-1)^{n}[/m] - ряд расходится
Последовательность его частичных сумм: -1; 0; -1;...
не имеет предела.
При [m]x= \frac{\sqrt{5}}{3}[/m] получаем ряд [m]∑ 1^{n}[/m] - ряд расходится
Последовательность его частичных сумм [m]S_{n}=n[/m] имеет предел, который равен ∞
О т в е т [m] (- \frac{\sqrt{5}}{3}; \frac{\sqrt{5}}{3})[/m]- область сходимости.