Задача 64059 Исследовать сходимость рядов...
Условие
Решение
( Ряд ∑a_(n) [b]эквивалентен[/b] ряду ∑b_(n), если [m] lim_{n → ∞ } \frac{a_{n}}{b_{n}}=1[/m])
∑ [m]\frac{\sqrt{n}}{8n^{2}}[/m] или ∑ [m]\frac{1}{8n^{\frac{3}{2}}}[/m] - обобщенный гармонический ряд сходится при p=[m]\frac{3}{2}[/m] >1
По признаку сравнения в предельной форме данный ряд сходится
б)
[m]a_{n}=\frac{n}{(2n-2)!}[/m]
Ряд сходится по признаку Даламбера
[m]lim_{n → ∞ } \frac{a_{n+1}}{a_{n}}=lim_{n → ∞ }\frac{\frac{n+1}{(2\cdot (n+1)-2)!}}{\frac{n}{(2n-2)!}}=lim_{n → ∞ }\frac{n+1}\cdot lim_{n → ∞ }\frac{(2n-2)!}{(2n+2)!} =1\cdot lim_{n → ∞ }\frac{2(n-2)!}{2(n+1)!}=lim_{n → ∞ }\frac{1}{n\cdot (n+1)} 0 < 1[/m]
(n+1)!=1*2*3*...*(n-1)!*n*(n+1)