Задача 64058 Найти общие решения дифференциальных...
Условие
Решение
Замена
[m]u=\frac{y}{x}[/m] ⇒ [m]y=u\cdot x[/m] ⇒ [m]y`=u`\cdot x+u\cdot x`=u``\cdot x+u[/m]
х - независимая переменная и [m]x`=1[/m]
Тогда уравнение примет вид:
[m]u`\cdot x+u=\frac{x+2(ux)}{4x-(ux)}[/m]
[m]u`\cdot x+u=\frac{x(1+2u)}{x(4-u)}[/m]
[m]u`\cdot x=\frac{1+2u}{4-u}-u[/m]
[m]u`\cdot x=\frac{1+2u-4u+u^2}{4-u}[/m] - получили уравнение с разделяющимися переменными
[m]du \cdot x=\frac{1+2u-4u+u^2}{4-u}dx[/m]
Разделяем переменные:
[m]\frac{4-u}{u^2-2u+1}du=\frac{dx}{x}[/m]
Интегрируем и делаем обратную замену.
2.
Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами
Решаем однородное:
y``+10y`+25y=0
Составляем характеристическое уравнение:
k^2+5k+25=0
(k+5)^2=0
k=k_(1)= k_(2)=-5 - корни кратные действительные
y=C_(1)e^(k)x)+C_(2)*x*e^(kx)
[b]y= C_(1) e^(-5x)+C_(2)*x*e^(-5x)[/b] - общее решение однородного.
f(x)=x - правая часть неоднородного уравнения имеет "специальный " вид, это линейная функция
Находим частное решение неоднородного дифференциального уравнения в виде:
y_(част)=(Ах+В)
y`=A
y``=0
Подставляем в уравнение:
0+10А+25*(Ах+В)=х
25Ax+(10A+25B)=x
25A=1
A=1/25
10A+25B=0
25B=-10A
25B=-10*(1/25)
[b]B=-2/125[/b]
О т в е т. y_(общее неодн)=y_(общее одн)+у_(частное неодн)=[b] C_(1) e^(-5x)+C_(2)*x*e^(-5x)[/b] +(1/25)х-(2/125)
3.
Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами
Решаем однородное:
y``+4y`-5y=0
Составляем характеристическое уравнение:
k^2+4k-5=0
D=16+20=36
k_(1)=1; k_(2)=-5 - корни действительные различные
общее решение имеет вид:
y=C_(1)e^(k_(1)x)+C_(2)*e^(k_(2)x)
[b]y= C_(1) e^(x)+C_(2)*e^(-5x)[/b] - общее решение однородного.
f(x)=4*e^(x) - правая часть неоднородного уравнения имеет "специальный " вид [m]e^{ α x}\cdot(cos β
x+sin β x)[/m]
α =1
β =0
1+0i является корнем характеристического уравнения.
Находим частное решение неоднородного дифференциального уравнения в виде:
y_(част)=А*e^(х)*x
( умножаем на х^(1), так как 1- корень кратности 1)
y`=(А*e^(х)*x)ё=A*(e^(х))`*x+A*e^(х)*(x)`=A*e^(x)*x+А*e^(х)
y``=(A*e^(x)*x+А*e^(х))`=A*e^(x)*x+А*e^(х)+А*e^(х)=2А*e^(х)+А*e^(х)+A*e^(x)*x
Подставляем в данное неоднородное уравнение. Находим А
2А*e^(х)+A*e^(x)*x+4*А*e^(х)*x+4A*e^(x)-5*А*e^(х)*x=4e^(x)
6A=4
A=2/3
О т в е т. y_(общее неодн)=y_(общее одн)+у_(частное неодн)=[b] C_(1) e^(-x)+C_(2)*e^(5x)[/b] +(2/|3)*x*e^(x)