Задача 64057 Вычислить определенные интегралы...
Условие
Решение
[m] ∫_{0} ^{\frac{π}{4}}\frac{cosx}{1+4sinx}dx=[/m]
так как [m]d(1+4sinx)=(1+4sinx)`dx=4cosxdx[/m], то [m]cosxdx=\frac{1}{4}d(1+4sinx)[/m]
[m]=\frac{1}{4}∫_{0} ^{\frac{π}{4}}\frac{d(1+4sinx)}{1+4sinx}dx=[/m]
формула [m] ∫ \frac{du}{u}=ln|u|[/m]
[m]=\frac{1}{4}\cdot (ln|1+4sinx|)|_{0} ^{\frac{π}{4}}=\frac{1}{4}\cdot ln|1+4sin\frac{π}{4}|-\frac{1}{4}\cdot ln|1+4sin0| =\frac{1}{4}\cdot ln|1+4\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}|=\frac{1}{4}\cdot ln|1+2\cdot\sqrt{2}|[/m]
б) по частям
[m]u=lnx[/m] ⇒ [m]du=(lnx)`dx=\frac{1}{x}dx[/m]
[m]dv=\frac{1}{x^5}dx[/m] ⇒ [m]v= ∫ dv= ∫ \frac{1}{x^5}dx= ∫x^{-5}dx=\frac{x^{-5+1}}{-5+1}=-\frac{1}{4}x^{-4} [/m]
[m] ∫_{1}^{2} \frac{lnx}{x^5}dx=((lnx)\cdot (-\frac{1}{4}x^{-4}))|_{1}^{2} - ∫_{1}^{2} (-\frac{1}{4}x^{-4})\cdot \frac{1}{x}dx=-\frac{1}{4}ln2\cdot 2^{-4}+\frac{1}{4}ln1\cdot 1^{-4}+\frac{1}{4}∫_{1}^{2}x^{-5}dx=-\frac{1}{64}+(\frac{x^{-5+1}}{-5+1})^{2}_{1}=[/m]
[m]=-\frac{1}{64}-\frac{1}{4}\cdot 2^{-4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{4}-\frac{2}{64}=\frac{7}{32}[/m]