Задача 64056 Вычислить неопределенные интегралы...
Условие
математика ВУЗ
98
Решение
★
[m]u=x^2+2[/m] ⇔ [m]du=(x^2+2)`dx=2xdx[/m] ⇒ [m]xdx=\frac{1}{2}du[/m]
[m] ∫ \frac{xdx}{sin^2(x^2+1)}=\frac{1}{2}∫ \frac{d(x^2+1)}{sin^2(x^2+1)}=-\frac{1}{2}ctg (x^2+1)+C[/m]
б) Выделяем полный квадрат:
[m]x^2+4x+5=x^2+4x+4+1=(x+2)^2+1[/m]
Замена
[m]x+2=t[/m] ⇒ [m]x=t-2[/m] и [m]dx=(t-2)`dt=dt[/m]
[m] ∫ \frac{3x+1}{x^2+4x+5}dx=∫ \frac{3x+1}{(x+2)^2+1}dx=∫ \frac{3(t-2)+1}{t^2+1}dt=[/m]
[m]=∫ \frac{3t-5}{t^2+1}dt=∫ \frac{3t}{t^2+1}dt-∫ \frac{5}{t^2+1}dt=\frac{3}{2}ln|t^2+1|-5arctgt+C=[/m]
[m]=\frac{3}{2}ln|x^2+4x+5|-5arctg(x+2)+C[/m]