Задача 64010 В правильной треугольной призме через...

6223793beaf32e4fd8101814

12.04.2022 13:36:28

В правильной треугольной призме через сторону нижнего основания и противолежащую ей вершину верхнего основания проведено сечение, составляющее угол в 60° с плоскостью основания. Найдите объем призмы, если сторона основания равна а. (с полным объяснением)

5f3ea7e3faf909182968ddd9

12.04.2022 13:56:24

★

Δ АВС - равносторонний (призма - [i]правильная треугольная[/i])

BM^2=AB^2-AM^2=a^2-(a/2)^2=a^2-(a^2/4)=3a^2/4

[b]BM=a*sqrt(3)/2[/b]

AA_(1) ⊥ пл АВС (призма - [i]правильная[/i] )
ВВ_(1) ⊥ пл АВС
СС_(1) ⊥ пл АВС

Проводим ММ_(1)

MM_(1) ||AA_(1) ⇒ MM_(1) ⊥ пл АВС ⇒ MM_(1) ⊥ BM

Треугольник ВММ_(1) - прямоугольный

M_(1)B ⊥ A_(1)C_(1) по теореме о трех перпендикулярах
⇒ M_(1)B ⊥ AC
MB ⊥ AC

A_(1)C_(1)-прямая пересечения пл сечения и пл А_(1)В_(1)С_(1)
AC || A_(1)C_(1)

К этой прямой проведены перпендикуляры в каждой из плоскостей

Значит
∠M_(1)BM - линейный угол двугранного угла между пл АВС и пл сечения
M_(1)B ⊥ A_(1)C_(1)


∠ M_(1)BM=60 °

MM_(1)=BM tg 60 ° =(a*sqrt(3)/2)*sqrt(3)=3a/2



V_( призмы)=S _ (осн)*H

S _ (осн)=S_( Δ ABC)=a^2*sqrt(3)/4

H=MM_(1)=3a/2

[b]V_( призмы)[/b]=(a^2*sqrt(3)/4)*(3a/2)=[b]3a^3sqrt(3)/8[/b]