Задача 63995 Вычислить несобственный интеграл или...
Условие
Решение
[m]\frac{1}{x^2-7x+10}=\frac{1}{3(x-5)}-\frac{1}{3(x-2)}[/m]
[m]∫ _{3}^{+ ∞ }\frac{1}{x^2-7x+5}dx=∫ _{3}^{+ ∞ }\frac{1}{3(x-5)}dx-∫ _{3}^{+ ∞ }\frac{1}{3(x-2)}=[/m]
[m]∫ _{3}^{+ ∞ }\frac{1}{3(x-2)}dx[/m] - несобственный интеграл первого рода с бесконечным верхним пределом
[m]∫ _{3}^{+ ∞ }\frac{1}{3(x-2)}dx=\frac{1}{3}∫ _{3}^{+ ∞ }\frac{d(x-2)}{(x-5)}=(\frac{1}{3}ln|x-2|)|_{3}^{+ ∞ }= ∞ [/m]
Расходится
[m]∫ _{3}^{+ ∞ }\frac{1}{3(x-5)}[/m]= несобственный интеграл первого рода с бесконечным верхним пределом
и несобственный интеграл второго рода с особой точкой х=5
Рассматриваем как сумму интегралов
[m]∫ _{3}^{6 }\frac{1}{3(x-5)}dx+∫ _{6}^{+ ∞ }\frac{1}{3(x-5)}dx[/m]
Первый интеграл
[m]∫ _{3}^{6 }\frac{1}{3(x-5)}dx=∫ _{3}^{5 }\frac{1}{3(x-5)}dx+∫ _{5}^{6 }\frac{1}{3(x-5)}dx=[/m]
[m]=lim_{ ε → 0} ∫ _{3}^{5- ε }\frac{1}{3(x-5)}dx+lim_{ δ → 0} ∫ _{3}^{5+ δ }\frac{1}{3(x-5)}dx= ∞ [/m]
Второй интеграл расходится как и [m]∫ _{3}^{+ ∞ }\frac{1}{3(x-2)}dx[/m]
Данный интеграл скорее всего расходится, как сумма расходящихся ,
хотя (∞ - ∞ ) неопределенность....