Задача 63967 Исследовать методами дифференциального...

6240703940eb0a5b1739b1ba

10.04.2022 11:20:37

Исследовать методами дифференциального исчисления функцию у
= f (x) и используя результаты исследования, построить график.

5f3ea7e3faf909182968ddd9

10.04.2022 12:21:54

★

Область определения

[m]\left\{\begin {matrix}x ≥ 0\\x+2 ≠0 \end {matrix}\right.[/m] ⇒[b] [0;+ ∞ )[/b]

Вертикальных асимптот нет
Наклонных - нет

Горизонтальная асимптота y=0 ( см. график справа, кривая стремится к оси Ох)

[m] lim_{x → 0}\frac{6\sqrt{x}}{x+2}=0[/m]



[m]y`=\frac{(6\sqrt{x})`(x+2)-6\sqrt{x}\cdot (x+2)`}{(x+2)^2}[/m]

[m]y`=\frac{6\frac{1}{2\sqrt{x}}\cdot (x+2)-6\sqrt{x}}{(x+2)^2}[/m]

[m]y`=\frac{3x+6-6x}{\sqrt{x}(x+2)^2}[/m]

[m]y`=\frac{-3x+6}{\sqrt{x}(x+2)^2}[/m]

[m]y`=0[/m]

[m]-3x+6=0[/m]

[m]x=2[/m]

Знак производной на области определения:

[0]____+__ (2) __-___

y`>0 на (0;2) ⇒ функция[i] возрастает[/i] на [0;2)
y`<0 на (2;+ ∞ ) ⇒ функция[i] убывает [/i] на (2;+ ∞ )

x=2 - точка максимума

[m]y(2)=\frac{6\sqrt{2}}{2+2}=1,5\cdot \sqrt{2} ≈ 1,5\cdot 1,4=2,1[/m]