Задача 63960 15-го января планируется взять кредит в...
Условие
- 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца
- со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга
- 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
На сколько месяцев планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 30% больше суммы, взятой в кредит?
спасибо большое!!!
Решение
взят на:[b] n[/b] месяцев
[b]По условию:[/b]
[i]1–го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца[/i]
т. е на 1–е числа каждого месяца долг равен [b]1,03 остатка[/b] долга на конец предыдущего месяца
[b]По условию:[/b]
[i]15–го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15–е число предыдущего месяца.[/i]
Это возможно в том случае, если со 2–го по 14–е число каждого месяца происходит погашение кредита равными долями:
х
[m]\frac{S}{n}[/m] [b] И[/b] выплатой процентов, начисленных на остаток долга предыдущего месяца
[b]1-ый месяц :[/b]
начислено процентов: [m]1,03\cdot S[/m]
выплата: [m]\frac{S}{n}+ 0,03\cdot S[/m]
Остаток [m] 1, 03\cdot S-\frac{S}{n} - 0,03\cdot S=S-\frac{S}{n}=\frac{(n-1)}{n}S[/m]
[b]2-ой месяц :[/b]
начислено процентов: [m]1,03\cdot \frac{(n-1)}{n}S[/m]
выплата: [m]\frac{S}{n}+ 0,03\cdot \frac{(n-1)}{n}S[/m]
[red]Остаток[/red] [m] 1, 03\cdot \frac{(n-1)}{n}S-\frac{S}{n} - 0,03\cdot \frac{(n-1)}{n}S=\frac{(n-1)}{n}S-\frac{S}{n}=\frac{(n-2)}{n}S[/m]
[b]3-ий месяц :[/b]
начислено процентов: [m]1,03\cdot \frac{(n-2)}{n}S[/m]
выплата: [m]\frac{S}{n}[/m] + [m] 0,03\cdot \frac{(n-2)}{n}S[/m]
[red]Остаток[/red] [m] 1, 03\cdot \frac{(n-2)}{n}S-\frac{S}{n} - 0,03\cdot \frac{(n-2)}{n}S=\frac{(n-2)}{n}S-\frac{S}{n}=\frac{(n-3)}{n}S[/m]
...
[b](n-1)-ый месяц[/b]
начислено процентов: [m]1,03\cdot \frac{n-(n-2)}{n}S=1,03\cdot \frac{2S}{n} [/m]
выплата: [m]\frac{S}{n}[/m] + [m] 0,03\cdot \frac{2S}{n}[/m]
[red]Остаток[/red] [m] 1, 03\cdot \frac{2S}{n}-\frac{S}{n} - 0,03\cdot \frac{2S}{n}= \frac{2S}{n}S-\frac{S}{n}=\frac{S}{n}[/m]
[b]n-ый месяц[/b]
начислено процентов: [m]1,03\cdot \frac{S}{n} [/m]
выплата: [m]\frac{S}{n}[/m] + [m] 0,03\cdot \frac{S}{n}[/m]
[red]Остаток[/red] [m] 1, 03\cdot \frac{S}{n}S-\frac{S}{n} - 0,03\cdot \frac{S}{n}=0[/m]
Что показывает, что остатки будут уменьшаться на [m]\frac{S}{n}[/m]
[m]S; \frac{(n-1)}{n}S; \frac{(n-2)}{n}S;; \frac{(n-3)}{n}S; ... ; \frac{n-(n-2)}{n}S; ; \frac{n-(n-1)}{n}S; 0[/m]
( это надо показать !) иначе решение [b]не обоснованное[/b], потеряете балл
Таким образом
Выплаты:
1-ый месяц [m] \frac{S}{n}+0,03\cdot S[/m]
2-ой месяц [m] \frac{S}{n}+0,03\cdot \frac{n-1}{n}\cdot S[/m]
3-ий месяц [m] \frac{S}{n}+0,03\cdot \frac{n-2}{n}\cdot S[/m]
...
....
(n-1)-ый месяц [m] \frac{S}{n}+0,03\cdot \frac{n-(n-2)}{n}\cdot S= \frac{S}{n}+0,03\cdot \frac{2}{n}\cdot S[/m]
n-ый месяц [m] \frac{S}{n}+0,03\cdot \frac{n-(n-1)}{n}\cdot S= \frac{S}{n}+0,03\cdot \frac{1}{n}S[/m]
Общая сумма выплат
[m] (\frac{S}{n}+0,03\cdot S)+ (\frac{S}{n}+0,03\cdot \frac{n-1}{n}\cdot S)+(\frac{S}{n}+0,03\cdot \frac{n-2}{n}\cdot S)+...(\frac{S}{n}+0,03\cdot \frac{2}{n}\cdot S)+.(\frac{S}{n}+0,03\cdot \frac{1}{n}\cdot S)=1,3S[/m]
Это и есть математическая модель задачи.
Если уравнение составлено, но не решено или решено неверно, то согласно критерию решение оценивается в 1 балл
Решаем:
[m] (\frac{S}{n})\cdot n+(0,03\cdot S+0,03\cdot \frac{n-1}{n}\cdot S+0,03\cdot \frac{2}{n}\cdot S+...+0,03\cdot \frac{1}{n}\cdot S)=1,3S[/m]
[m]0,03\cdot S\cdot (1+\frac{n-1}{n}+ \frac{n-2}{n}+...+\frac{1}{n})=0,3S[/m]
На S можно сократить.
[m]0,03\cdot S\cdot (\frac{n}{n}+\frac{n-1}{n}+ \frac{n-2}{n}+...+\frac{1}{n})=0,3S[/m]
[m]0,03\cdot S\cdot (\frac{n+(n-1)+(n-2)+...+2+1}{n})=0,3S[/m]
В скобках сумма арифм прогрессии
[m]0,03\cdot \frac{(n+1)}{2n}\cdot n=0,3[/m]
n+1=10
n=9
О т в е т. n=9