Задача 63937 вычислить двойной интеграл используя...
Условие
Решение
[m]y= ρ sin θ [/m]
[m]x^2+y^2=( ρ cos θ)^2+(ρ sin θ)^2= ρ ^2(cos^2 θ +sin^2 θ )= ρ^2 [/m]
Тогда уравнения границ принимают вид
[m] ρ ^2-4\cdot ρ cos θ=0[/m] ⇒ [m] ρ =4\cdot cos θ[/m] ⇒
[m] ρ \cdot sin θ= ρ\cdot cos θ[/m] ⇒ [m] sin θ= cos θ[/m]
См рис.
[m]\frac{π}{4} ≤ θ ≤ \frac{π}{2} [/m]
[m]0 ≤ ρ ≤ 4\cdot cos θ[/m]
Якобиан:
|[i]I[/i]|= ρ
поэтому элемент
[m]dxdy= ρ d ρ d θ [/m]
[m]S= ∫ ∫_{D}\frac{x}{x^2+y^2} dxdy ⇒ ∫_{\frac{π}{4}} ^{\frac{π}{2}}( ∫_{0} ^{4\cdot cosθ } cos θ d ρ )d θ = [/m]
cos θ - по отношению к переменной интегрирования ρ является константой, выносим за знак интеграла
[m]= ∫_{\frac{π}{4}} ^{\frac{π}{2}}cos θ ( ∫_{0} ^{4\cdot cosθ } d ρ )d θ = [/m]
считаем внутренний интеграл:
[m]= ∫_{\frac{π}{4}} ^{\frac{π}{2}}cos θ \cdot (( ρ )|_{0} ^{4\cdot cosθ } )d θ = ∫_{\frac{π}{4}} ^{\frac{π}{2}}cos θ \cdot (4\cdot cosθ -0) d θ [/m]
считаем внешний интеграл:
[m]=4∫_{\frac{π}{4}} ^{\frac{π}{2}}cos^2 θ d θ =4∫_{\frac{π}{4}} ^{\frac{π}{2}}\frac{1+cos2 θ }{2} d θ =2∫_{\frac{π}{4}} ^{\frac{π}{2}}(1+cos2 θ )d θ =2\cdot ( θ+\frac{1}{2}sin2 θ)| _{\frac{π}{4}} ^{\frac{π}{2}}=\frac{π}{2}+\frac{1}{2}sinπ -\frac{π}{4}-\frac{1}{2}sin\frac{π}{2}=\frac{π}{4}-\frac{1}{2}[/m]
