Задача 63889 Вычислить определенный интеграл...
Условие
Решение
Все решения
[m]\sqrt{x}=t[/m] ⇒ [m]x=t^2[/m] ⇒ [m]dx=(t^2)`dt=2tdt[/m]
Меняем пределы интегрирования
если x=0, то t=sqrt(0)=0
если x=4, то t=sqrt(4)=2
[m] ∫_{0} ^{4}\frac{dt}{1+\sqrt{x}}= ∫_{0} ^{2}\frac{2tdt}{1+t}[/m]
выносим постоянный множитель 2 за знак интеграла
[m]=2 ∫ ∫_{0} ^{2}\frac{tdt}{1+t}=[/m]
получили неправильную дробь (степень числителя равна степени знаменателя)
выделяем целую часть
[m]=2 ∫_{0} ^{2}\frac{t+1-1}{1+t}dt=[/m]
делим почленно
[m]=2 ∫_{0} ^{2}(\frac{t+1}{1+t}-\frac{1}{1+t})dt=[/m]
[m]=2 ∫_{0} ^{2}\frac{t+1}{1+t}dt -2 ∫_{0} ^{2}\frac{1}{1+t}dt=[/m] так как [m]d(t+1)=(t+1)1dt=1\cdot dt=dt[/m]
[m]=2 ∫_{0} ^{2}dt -2 ∫_{0} ^{2}\frac{d(1+t)}{1+t}=[/m] по формуле [r][m]∫\frac{du}{u}=ln|u|+C[/m][/r]
[m]=2\cdot (t)|_{0} ^{2} -2 \cdot (ln|1+t|)|_{0} ^{2}=2\cdot (2-0)-2\cdot( ln(1+2)-ln(1+0))=4-2ln3[/m]