Задача 63879 Исследовать методами дифференциального...
Условие
= f (x) и используя результаты исследования, построить график. Желательно подробно
Решение
Вертикальных асимптот нет
Прямая y=0 - горизонтальная асимптота на (- ∞)
так как
lim_(x→ -∞)f(x)=lim_(x→ -∞)x^2e^(x/2)=(-∞)^2*0 - неопределенность ( при x → -∞ e^(x/2)→ 0)
устраняем
=lim_(x→ -∞)x^2/e^(-x/2) = применяем правило Лопиталя
=lim_(x→ -∞)(x^2)`/(e^(-x/2))`=lim_(x→ -∞)(2x)/e^(-x/2)*(-x/2)`=lim_(x→ -∞)(2x)/e^(-x/2)*(-1/2)=4*lim_(x→ -∞)x/e^(-x/2) = применяем правило Лопиталя
=4*lim_(x→ -∞)(x)`/e^(-x/2)*(-1/2) =-8*lim_(x→ -∞)(1/e^(-x/2))=-8*lim_(x→ -∞)e^(x/2)=-8*0=0
lim_(x→ +∞)f(x)=lim_(x→ +∞)x^2e^(x/2)=(-∞)^2*∞ =+∞
кривая справа стремится в +∞ горизонтальной асимптоты нет
Исследование с помощью первой производной
y`=(x^2)`*e^(x/2)+(x^2)*e^(x/2)=
=2x*e^(x/2)+(x^2)*e^(x/2)=
=e^(x/2)*(2x+x^2)
y`=0
e^(x/2) > 0 при любом х
(2x+x^2)=0
x*(2+x)=0
x=0 или x=-2
Знак производной
__+__ (-2) __-___ (0) ____ +
y`< 0 на (- 2 ;0 ), функция[i] убывает[/i] на (- 2 ;0 )
y` >0 на (- ∞; -2) и на (0;+ ∞), функция[i] возрастает[/i] на (- ∞; -2) и на (0;+ ∞
x=-2 - точка [i]максимума[/i], производная меняет знак с - на +
y(-2)=(-2)^2e^(-1)=4/e
х=0 - точка [i]минимума[/i], производная меняет знак с - на +
y(0)=0
Исследование с помощью второй производной
y``=(y`)`=((2x+x^2)*e^(x/2))`=(2x+x^2)`*e^(x/2)+(2x+x^2)*(e^(x/2))`=
=(2+2x)*e^(x/2)+(2x+x^2)*e^(x/2)*(x/2)`=
=e^(x/2)*(2+2x+x+(1/2)x^2)=
=e^(x/2)*(2+3x+(1/2)x^2)
y``=0
2+3x+(1/2)x^2=0
x^2+6x+4=0
D=36-16=20
x_(1)=-6-4sqrt(5)/2=-3-2sqrt(5); x_(2)=-6+4sqrt(5)/2=-3+2sqrt(5)
- точки перегиба, вторая производная при переходе через точки меняет знак:
___+___ (-3-2sqrt(5) ) ___-___ (-3+2sqrt(5)) ____+___
y``>0
функция выпукла вниз ∪
y``<0
функция выпукла вверх ∩ 
