Задача 63860 Решите неравенство, спасибо ...
Условие
Решение
[m]\left\{\begin {matrix}x^2-x+30>0\\x^4-2x^3+x^2>0\\x^2-x-1>0\\x^2-x-1 ≠1\\x+3 >0\\x+3 ≠1 \end {matrix}\right.[/m]
[m]x^2-x+30>0[/m] верно при любых х, так как D<0
[m]x^4-2x^3+x^2>0[/m]
[m](x^2-2x+1)\cdot x^2>0[/m]
[m](x-1)^2\cdot x^2>0[/m]верно при любых х, [b]кроме x=1;x=0[/b]
[m] x^2-x-1>0[/m] D=5; x_(1)=[m]\frac{1-\sqrt{5}}{2}[/m] ; x_(2)=[m]\frac{1+\sqrt{5}}{2}[/m]
⇒ x <[m]\frac{1-\sqrt{5}}{2}[/m] или x > [m]\frac{1+\sqrt{5}}{2}[/m]
[m] x^2-x-1 ≠ 1[/m]
[b][m]x^2-x-2 ≠ 0[/m][/b] ⇒ x≠ -1; x≠ 2
Итак, ОДЗ:
[m]x ∈ (-3;-2)\cup (-2;-1) \cup (-1; \frac{1-\sqrt{5}}{2})\cup (\frac{1+\sqrt{5}}{2}; 2)\cup (2;+ ∞ )[/m]
Применяем формулу перехода к другому основанию справа налево и получаем
[m]log_{x^2-x-1} (x^2-x+30) ≥ log_{x^2-x-1}(x^4-2x^3+x^2)[/m]
Применяем метод рационализации логарифмических неравенств:
[m](x^2-x-1-1) (x^2-x+30-x^4+2x^3-x^2) ≥0 [/m]
[m](x^2-x-2) (-x^4+2x^3-x+30) ≥0 [/m]
[m](x+1)(x-2) (x^4-2x^3+x-30) ≤ 0 [/m] Замечаем, что x=-2 и х=3 - корни многочлена x^4-2x^3+x-30
[m](x+1)(x-2) (x+2)(x-3)(x^2-x+5) ≤ 0 [/m] x^2-x+5 > 0 при любых х, D=1-4*5 <0
[m](x+1)(x-2) (x+2)(x-3) ≤ 0 [/m]
Решаем методом интервалов
_____+___ [-2] __-___ [-1] ___+___[2] __-__ [3] __+___
и с учетом ОДЗ получаем ответ
[m]x ∈(-2;-1)\cup(-1; \frac{1-\sqrt{5}}{2})\cup (2;3)[/m]