Задача 63855 вычислить приближенно:...
Условие
Решение
[b][m] Δz ≈ dz[/m][/b]
[m] Δz =z(x_{o}+ Δx; y_{o}+ Δy)-z(x_{o}; y_{o})[/m] ⇒[b][m] z(x_{o}+ Δx; y_{o}+ Δy)=z(x_{o};y{o})+ Δz[/m][/b]
[m] dz=\frac{ ∂ z}{ ∂x} (x_{o};y_{o})\cdot Δx+\frac{ ∂ z}{ ∂y} (x_{o};y_{o})\cdot Δy[/m] - [red]вычисления в точке (x_(o);y_(o)[/red]
В задаче:
[m]z=\frac{x^2}{\sqrt{x^2+y^2+7}}[/m]
[b]x_(o)=2[/b]
Δ x=2,03-2=0,03
[b]y_(o)=1[/b]
Δ y=1,05-1=0,05
[m]\frac{ ∂ z}{ ∂x} =(\frac{x^2}{\sqrt{x^2+y^2+7}})`_{x}=\frac{2x\cdot\sqrt{x^2+y^2+7}-x^2\cdot (\sqrt{x^2+y^2+7})`_{x}}{(\sqrt{x^2+y^2+7})^2} =\frac{2x\cdot\sqrt{x^2+y^2+7}-x^2\cdot \frac{1}{2\sqrt{x^2+y^2+7}}\cdot (x^2+y^2+7)`_{x}}{(\sqrt{x^2+y^2+7})^2} \frac{2x\cdot (x^2+y^2+7)-x^3}{\sqrt{x^2+y^2+7}\cdot (x^2+y^2+7)}=\frac{x^3+2xy^2+14x}{\sqrt{x^2+y^2+7}\cdot (x^2+y^2+7)}[/m]
[m]\frac{ ∂ z}{ ∂y} =(\frac{x^2}{\sqrt{x^2+y^2+7}})`_{y}=x^2\cdot (\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+7}})`_{y}=x^2\cdot (-\frac{1}{(\sqrt{x^2+y^2+7})^2})\cdot (x^2+y^2+7)`_{y}=-\frac{2x^3}{x^2+y^2+7}[/m]
Находим значения производных в точке (2;1)
[m]\frac{ ∂ z}{ ∂x} (2;10=\frac{2^3+2\cdot 2\cdot 1^2+14\cdot 2}{\sqrt{2^2+1^2+7}\cdot (2^2+1^2+7)}=[/m]
[m]\frac{ ∂ z}{ ∂y} (2;1)=-\frac{2\cdot 2^3}{2^2+1^2+7}[/m]
[m] Δz(2;1)=\frac{2^3+2\cdot 2\cdot 1^2+14\cdot 2}{\sqrt{2^2+1^2+7}\cdot (2^2+1^2+7)}\cdot 0,03+(-\frac{2\cdot 2^3}{2^2+1^2+7})\cdot 0,05[/m]
Находим значение функции в точке (2;1)
[m]z(2;1)=\frac{2^2}{\sqrt{2^2+1^2+7}}=\frac{4}{\sqrt{12}}=\frac{4}{2\sqrt{3}}=\frac{2}{\sqrt{3}}[/m]
[b][m] z(x_{o}+ Δx; y_{o}+ Δy)=z(x_{o};y{o})+ Δz[/m][/b]
[m]\frac{2,03^2}{\sqrt{2,03^2+1,05^2+7}} ≈ \frac{2}{\sqrt{3}}+\frac{2^3+2\cdot 2\cdot 1^2+14\cdot 2}{\sqrt{2^2+1^2+7}\cdot (2^2+1^2+7)}\cdot 0,03+(-\frac{2\cdot 2^3}{2^2+1^2+7})\cdot 0,05[/m]
Все решения