Задача 63851 26. 4х+2+2х? у= — — 2—x Исследовать...
Условие
Решение
Область определения (- ∞ ;2)U(2;+ ∞ )
Функция не является ни чётной, ни нечётной ( область определения не симметрична относительно 0 )
Функция не является периодической
Прямая [m] x=2 [/m] является [i] вертикальной[/i] асимптотой, так как оба односторонних предела - бесконечные
[m] lim_{x →2-0}\frac{4x+2+2 x^2}{2-x}=+ ∞ [/m]
[m] lim_{x →2+0}\frac{4x+2+2 x^2}{2-x}=- ∞ [/m]
[i]Горизонтальных[/i] асимптот нет, так как
[m] lim_{x → ∞}\frac{4x+2+2 x^2}{2-x}= ∞ [/m]
Наклонная асимптота:
[m] k= lim_{x → ∞}\frac{f(x)}{x}=lim_{x → ∞}\frac{4x+2+2 x^2}{(2-x)x}= -2[/m]
[m]k=-2[/m]
[m]b= lim_{x → ∞}(\frac{4x+2+2 x^2}{2-x}-(-2)x)= lim_{x → ∞}\frac{4x+2+2 x^2+4x-2x^2}{2-x}= lim_{x → ∞}\frac{8x+2}{2-x}=-8 [/m]
[m]y=-2x-8[/m] - [i] наклонная асимптота[/i].
[b]Исследование с помощью первой производной[/b]:
[m]y`=(\frac{4x+2+2 x^2}{2-x})`[/m]
[m]y`=\frac{(4x+2+2 x^2)`(2-x)-(4x+2+2x^2)(2-x)`}{(2-x)^2}[/m]
[m]y`=\frac{(4+4x)(2-x)-(4x+2+2x^2)(-1)}{(2-x)^2}[/m]
[m]y`=\frac{8+8x-4x-4x^2+4x+2+2x^2}{(2-x)^2}[/m]
[m]y`=\frac{10+8x-2x^2}{(2-x)^2}[/m]
y`=0
[m]10+8x-2x^2=0[/m]
[m]x^2-4x-5=0[/m]
D=16+20=36
x=-1; x=5
Расставляем знак производной
____-_ (-1) ___+___ (5) ____-__
y`<0 на (- ∞ ; -1) и на (5;+ ∞ )
Значит функция убывает на (- ∞ ; -1) и на (5;+ ∞ )
y`>0 на (-1;5)
Значит, функция возрастает на (-1;5)
x=-1 - точка минимума, производная меняет знак с - на +
x=5 - точка максимума, производная меняет знак с + на -
[m]y(-1)=\frac{4\cdot (-1)+2+2\cdot 1}{2+1}=0[/m]
[m]y(5)=\frac{4\cdot (5)+2+2 \cdot 25}{2-5}=-24[/m]
[b]Исследование с помощью второй производной:[/b]
[m]y``=(y`)`=(\frac{10+8x-2x^2}{(2-x)^2})`=[/m]
[m]y``=\frac{(8-4x)\cdot (2-x)^2-(10+8x-2x^2)\cdot 2(2-x)\cdot (2-x)`}{(2-x)^4}[/m]
[m]y``=\frac{(8-4x)\cdot (2-x)+2(10+8x-2x^2)}{(2-x)^3}[/m]
[m]y``=\frac{(8-4x)\cdot (2-x)+2(10+8x-2x^2)}{(2-x)^3}[/m]
[m]y``=\frac{36}{(2-x)^3}[/m]
[m]y`` >0 [/m] на (- ∞;2 ) ⇒ функция выпукла вниз на (- ∞;2)
[m]y`` <0 [/m] на (2;+ ∞ ) ⇒ функция выпукла вверх на (2;+ ∞ )
точек перегиба нет
График:
