Задача 63838 Вычислить площадь криволинейной...

62404cc71dbf884a85d7fdb9

31.03.2022 13:55:26

Вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком заданной на отрезке [0;2] функции y=sqrt(16–x^(2)), длину L кривой, являющейся графиком этой функции, а также объём V тела, ограниченного плоскостью x=2 и поверхностью, образованной вращением вокруг оси OX графика заданной функции.

5f3ea7e3faf909182968ddd9

31.03.2022 14:13:22

★

1)
[m]S= ∫_{0} ^{2}\sqrt{16-x^2}dx=[/m]

Табличный интеграл ( cм. скрин 1)

a^2=16 ⇒ [b]a=4[/b]

[m]=(\frac{x}{2}\sqrt{16-x^2}+\frac{16}{2}arcsin\frac{x}{4})|_{0} ^{2}=\frac{2}{2}\sqrt{16-2^2}+\frac{16}{2}arcsin\frac{2}{4}-0=\sqrt{12}+8 arcsin\frac{1}{2}=2\sqrt{3}+8\frac{π}{6}=2\sqrt{3}+\frac{4π}{3}[/m]

2)
По формуле (cм скрин 2)

[m]y=\sqrt{16-x^2}[/m]


[m]y`=\frac{1}{2\sqrt{16-x^2}}\cdot (16-x^2)`=-\frac{x}{\sqrt{16-x^2}}[/m]


[m]L= ∫_{0} ^{2}\sqrt{1+(-\frac{x}{\sqrt{16-x^2}})^2}dx=∫_{0} ^{2}\sqrt{\frac{16}{16-x^2}}dx=4\cdot(arcsin \frac{x}{4})|_{0} ^{2}=4\cdot arcsin \frac{1}{2}=4\cdot \frac{π}{6}=\frac{2π}{3}[/m]

3.
[m]V_{Ox}=π ∫_{0} ^{2}(\sqrt{16-x^2})^2dx=π ∫_{0} ^{2}(16-x^2)dx=(16x-\frac{x^3}{3})|_{0} ^{2}=16\cdot 2-\frac{2^3}{3}=[/m]


---------------------------------