Задача 63820 ...

61c0b07ad3a57204c39add3e

28.03.2022 19:26:11

На ребре CC1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 взята точка R так, что C1R = 3 ∙ RC.

а) Введите систему координат и составьте уравнение плоскости α, проходящей через точки R, B и D1, если CD = CC1 = 6 см, AD = 8 см.
б) Найдите угол между диагональю AC1 и плоскостью α.

5f3ea7e3faf909182968ddd9

28.03.2022 20:37:24

★

Точка R делит ребро СС_(1) на 4 части
RC=1,5

R(8;6;1,5)

Уравнение плоскости имеет вид:
[m]ax+by+cz+d=0[/m]

Подставляем координаты точек R; B; D_(1)

Получаем систему трех уравнений с четырьмя неизвестными

[m]\left\{\begin {matrix}8a+6b+1,5c+d=0\\6b+d=0\\8a+6c+d=0\end {matrix}\right.[/m]


[m]\left\{\begin {matrix}8a+6\cdot(-\frac{1}{6}d) +1,5c+d=0\\b=-\frac{1}{6}d\\8\cdot (-\frac{3}{16})c+6c+d=0\end {matrix}\right.[/m] ⇒[m]\left\{\begin {matrix}8a+1,5c=0\\b=-\frac{1}{6}d\\\frac{9}{2} c+d=0\end {matrix}\right.[/m]⇒[m]\left\{\begin {matrix}a=-\frac{3}{16}c\\b=-\frac{1}{6}d\\c=-\frac{2}{9}d\end {matrix}\right.[/m]


находим коэффициенты[m] a;b;c [/m]

[m]\left\{\begin {matrix}a=-\frac{3}{16}\cdot(-\frac{2}{9}d)=\frac{1}{24}d\\b=-\frac{1}{6}d\\c=-\frac{2}{9}d\end {matrix}\right.[/m]




Значит уравнение плоскости α

[m]\frac{1}{24}x-\frac{1}{6}y-\frac{2}{9}z+1=0[/m] ( сократили все слагаемые на d)

[m]3x-12y-16z+72=0[/m] ( умножили на 72)

Нормальный вектор [m]\vec{n}=(3; -12; -16)[/m]

[m]\vec{AC_{1}}=(8; 6; 6)[/m]- направляющий вектор прямой АС_(1)


Скалярное произведение векторов:

[m]\vec{n}\cdot \vec{AC_{1}}=3\cdot 8+(-12)\cdot 6+(-16)\cdot (8)=24-72-128=-176[/m]

[m]|\vec{n}|=\sqrt {(3)^2+( -12)^2+( -16)^2}=\sqrt{409}[/m]

[m]\vec{AC_{1}}=\sqrt {(8)^2+(6)^2+( 6)^2}=\sqrt{136}=2\sqrt{34}[/m]

См формулу в скрине.


[m] sin ∠ (AC_{1}, α)=\frac{|-176|}{\sqrt{409}\cdot 2\sqrt {34}}=\frac{88}{\sqrt{409}\cdot \sqrt {34}}[/m]


[m] ∠ (AC_{1}, α)= arcsin (\frac{88}{\sqrt{409}\cdot \sqrt {34}})[/m]