Задача 63808 Довести, що чотирикутник ABCD з...

624193b84ca296083efa1eaa

28.03.2022 13:59:01

Довести, що чотирикутник ABCD з вершинами А5;-3;2), B(9;-1;3), C(12;-5;-1),
D(85-7;-2) — прямокутник.

5f3ea7e3faf909182968ddd9

28.03.2022 17:00:12

★

vector{AB}=(9-5;-1-(-3);3-2)=(4;2;1)
vector{DC}=(8-12;-7-(-5);-2-(-1))=(-4;-2;-1)

Векторы коллинеарны, так как координаты пропорциональны.

АВ|| CD
|vector{AB}|=sqrt(4^2+2^1+1)=sqrt(21)
|vector{DC}|=sqrt(4^2+2^1+1)=sqrt(21)

Противоположные стороны параллельны и равны, значит ABCD - параллелограмм.

Покажем, что этот параллелограмм -прямоугольник.

Для этого покажем, что AB ⊥ AD

vector{AB}=(9-5;-1-(-3);3-2)=(4;2;1)
vector{AD}=(8-5;-7-(-3);-2-2)=(3;-4;-4)

vector{AB}*vector{AD}=4*3+2*(-4)+1*(-4)=12-8-4=0

Скалярное произведение ненулевых векторов равно 0, значит векторы ортогональны.

значит параллелограмм. ABCD - прямоугольник.